ГАМИЛЬТОНОВ ФОРМАЛИЗМ

- основанная на вариац. принципе формулировка механики и теории поля, в к-рой состояние системы задаётся обобщёнными координатамиq_iи обобщёнными импульсамиp_i(i=1, 2, . . .,N,гдеN -число степеней свободы). Описываемая Г. ф.динамическая системаназ.гамильтоновой системой,а пространство её состояний -фазовым пространством.В Г. ф. действие

выражается через ф-цию ГамильтонаH(точкой обозначено дифференцирование по времени;р, q-совокупность всехр_i,q_i).Hявляется преобразованием Лежандра ф-ции ЛагранжаL:,где в правой части следует выразить черезр_i, разрешив относительно определение импульсов:

Г. лагранжев формализм полностью эквивалентны, если определено преобразование Лежандра, т. е. если

Внаименьшего действия принципе=0 независимыми вариациями в (1) считаются и , причём .Тогда стандартныеЭйлера - Лагранжа уравнениядают в качестве ур-ний движенияГамильтона уравнения

В Г. f является ф-цией канонич. переменныхр, q(и, возможно, времени). Её полная производная по времени вследствие ур-ний Гамильтона имеет вид , где -Пуассона скобкадвух динамич. переменныхfиg.He зависящая явно от времени переменнаяfсохраняется, если её скобка Пуассона сHобращается в нуль.

Г. канонические преобразования, при к-рых ур-ния Гамильтона и скобка Пуассона не меняются.

Переход от лагранжева к Г. , т. е. когда =0. Эта ситуация всегда возникает в калибровочных теориях, в к-рыхLвообще не зависит от нек-рых, или в теориях со связями (q) = 0 (m = 1, ...,M),где обычная замена вводит дополнит. координаты иL_Тснова не зависит от . В обоих случаях вытекающие из определения импульсов соотношения представляют собой простейший пример "гамильтоновых" связей.

В общем случае, когда ранг матрицы равенN - M, M> 0, требование непротиворечивости ур-ний (2) приводит кMсоотношениям (р, q)=0, к-рые наз. первичными связями в Г. ф. Стандартные ур-ния Гамильтона на поверхности связей , определяемой соотношениями , будут полностью эквивалентны лагранжевым ур-ниям движения, если их записывать для ф-ции

где - произвольные множители (вообще говоря, не выражающиеся только через переменныер,q):

На поверхности связей не определённые скобки Пуассона сq_iир_i- не дают вклада в правые части.

Для непротиворечивости такого Г. ф. необходимо, чтобы временная эволюция не выводила за поверхность , т. е. чтобы на . Если это требование не выполняется, необходимо сузить , наложив новые, "вторичные" связи. Процедуру их нахождения предложил П. Дирак (P. Dirac).

Для выполнения условия на достаточно, чтобы скобки оказались линейными комбинациями связей с нек-рыми коэф. :

Это - система ур-ний на коэффициенты ; если ранг матрицы на меньше , система определяет только из коэффициентов и возникает условий непротиворечивости. Часть из них может автоматически удовлетворяться на , а остальные образуют "вторичных" связей , . Их следует добавить к первичным, определив новую поверхность :=0,j=1, ...,M, ,.., M+и потребовав, чтобына. Процедура повторяется, пока не перестанут возникать новые вторичные связи. Полная совокупность связей = 0,j-1, ...,M, ..., М++...+=Jуже удовлетворяет требованиям непротиворечивости Г. ф.: на суженной поверхности . Более того, все связи можно вставить в ф-цию Гамильтона: в качестве генератора эволюции "полная ф-ция Гамильтона"Hfне отличима на от

Все связи разбиваются на два класса, сK=J - SиSэлементами, гдеS -(чётный) ранг матрицына .Ксвязей удовлетворяют условиям

и наз. связями I рода ( -нек-рые ф-ции переменныхр,q).ОстальныеSсвязей-II рода - не удовлетворяют условиям (4), а матрица для них имеет обратную, . Записанные дляН* условия непротиворечивости Г. ф.

фиксируютSиз коэффициентов : '

Подстановка этих значений вH*эквивалентна замене скобки Пуассона скобкой Дирака

в законе эволюции: . При этом, поскольку для любой ф-цииf(р, q)выполняются автоматически соотношения =0, связи II рода можно наложить явно, считая =0 во всех ф-цияхf.

Конкретная реализация процедуры Дирака неоднозначна: вместо связей II рода можно взять любой эквивалентный набор , если только detA_jj'K0. В частности, в принципе можно подобрать ' так, чтобы матрица приобрела канонич. вид , гдеI-единичная матрица рангаS/2.

Затем канонич. преобразованием в полном фазовом пространстве Г можно перейти от первонач. переменных (р, q)к новым , в к-рых первыеS/2 пар -связи II рода. В новых переменных скобка Дирака приобретёт пуассонов вид: а связи II рода окажутся полностью исключёнными, повлияв лишь на выбор переменныхр', q'.B этих переменных эволюцией управляет ф-ция Гамильтона , включающая лишь связи I рода, находящиеся в инволюции (т. е. скобки Пуассона связей выражаются через линейную комбинацию самих связей):

Гамильтоново описание ведётся теперь в (2N-S)-мер-ном пространстве Г' канонич. переменныхр',q'.В нём участвуютКпроизвольных ф-ций ; изменение не приводит к изменению состояния или закона эволюции, а сводится к канонич. калибровочному преобразованию, генератором к-рого является связь . Наблюдаемыми величинами естественно считать не все ф-цииf(р',q')на поверхности , определённой условиями = 0, а лишь те, на эволюции к-рых не сказывается произвол в . Для этого достаточно, чтобы , т.

при этом . Такие ф-ции зависят не от всех 2N-S-Ккоординат на . Если считать (6) системой дифференц. ур-ний дляf, то (5) будут условиями её разрешимости иfопределится своими значениями на подмногообразии Г* нач. условий, размерности2N - S-2K - 2N-J-К.Г* обычно задают на ур-ниями , наз. дополнит. условиями. Как и в случае связей II рода, переходом к эквивалентным связям и выбором дополнит. условий всегда можно добиться того, чтобы , , т. е. чтобы новые связи и дополнит. условия годились на роль канонич. переменных. Канонич. преобразование в Г' от (p';q')к достраивает остальные переменныер*,q^*,служащие независимыми координатами на физ. фазовом пространстве Г*. Для ф-ций, удовлетворяющих системе ур-ний (6), скобка Пуассона выражается только через . T. о., существуют два эквивалентных описания гамильтоновой системы со связями: в полном фазовом пространстве Г со скобкой Дирака и ф-цией ГамильтонаH*и в физ. фазовом пространстве Г* со скобкой Пуассона и ф-цией Гамильтона .

Первый способ технически проще, поскольку на практике не всегда удаётся явно построить необходимые для второго способа канонич. преобразования. Однако принципиальная возможность второго способа служит обоснованием методафункционального интеграладля систем со связями.

Для теорий с высшими производными, когдаL= , переход от лагранжева к Г. ф. осуществляется введением новых координат , A=1, ...,п,и связей :

При этом возникают 2 (n-1) гамильтоновых связей II рода: , . Для ф-ций переменныхP, Qскобка Дирака совпадает со скобкой Пуассона, aH*имеет вид

Приk<nур-ния Гамильтона дляQ_kэквивалентны лагранжевым связям, а дляP_k-иному определению импульсов:

В релятивистской теории осн. проблемой Г. ф. является удовлетворение требованиям релятивистской инвариантности. Как и в лагранжевом формализме, здесь требование инвариантности действия относительно преобразований симметрии позволяет с помощьюНетер теоремыпостроить соответствующие сохраняющиеся величины как явные ф-ции канонич. переменных и . В частности, инвариантность действия относительно преобразований из группы Пуанкаре приводит к сохранению четырёх компонент энергии-импульсаP_mи шести компонент момента , где, напр.,

i=l, 2, 3. Эти величины являются генераторами трансляций и вращений в четырёхмерном пространстве времени, реализованными как генераторы соответствующих канонич. преобразований в фазовом пространстве системы. Напр., для любой ф-ции ] имеем

(где ).

Непосредств. проверка инвариантности действия в Г. ф. затруднительна ввиду явной нековариантности определений иH.Однако, поскольку преобразования Пуанкаре образуют группу Ли (см.Группа),генераторы должны удовлетворять соотношениям её алгебры:

( - метрич. тензор), представляющим собой условие релятивистской ковариантности Г. ф. Часть этих соотношений удовлетворяется автоматически, а остальные налагают существ. ограничения на видHи др. генераторов группы Пуанкаре.

Г. ф. играет принципиальную роль в процедуре квантования, стандартным рецептом к-рой является замена скобок Пуассона {f,g}коммутатором операторов, отвечающих наблюдаемымfиg.При этом приходится решать две проблемы. Первая состоит в выборе порядка операторов , отвечающих канонич. переменным, в выражениях . Квантовый аналог классич. системы уже поэтому неоднозначен. Вторая связана с выбором канонических переменных, для к-рых постулируются канонич.перестановочные соотношения .В классической теории равноправны любые наборы (р, q),связанные каноническим преобразованием. В квантовой теории разные выборы канонически квантуемых переменных приводят, вообще говоря, к разным результатам. Иногда критерии выбора существуют. Например, для системы, прообразом которой служит система материальных точек, преимущественными являются декартовы координаты и соответствующие импульсы. Для полевых систем "неправильный" выбор может привести к противоречиям.

Совершенно разный смысл приобретают при квантовании связи I и II рода. Связи II рода налагаются как соотношения для отвечающих им операторов, а связи I рода могут налагаться только как дополнит. условия навекторы состояния,выделяющие физ. подпространство таких векторов.

Лит.:Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Теория поля, 6 изд., M., 1973: их же, Механика, 3 изд., M., 1973; Дирак П. A. M., Принципы квантовой механики, пер. с англ., 2 изд., M., 1979; Фаддеев Л. Д., Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжианов, "ТМФ", 1069, т. 1, с. 3; Арнольд В. И., Математические методы классической механики, 2 изд., M., 1979; Медведев Б. В., Начала теоретической физики, M., 1977; Славнов А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей, M., 1978; Коноплева H. П., Попов В. H., Калибровочные поля, M., 1980.Б. В. Медведев, В. П. Павлов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.Главный редактор А. М. Прохоров.1988.

гамильтонов формализм—гамильтоновский формализм Hamiltonian formalism...Русско-английский словарь по физике
гамильтонов формализм—Hamiltonian formalism...Русско-английский словарь по электронике