Энциклопедия Кольера

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ


раздел математики, занимающийся изучением геометрических объектов, связанных с алгебраическими уравнениями, и их обобщениями. Простейший из таких объектов - плоская алгебраическая кривая, заданная уравнением f(x, y) = 0, где f(x, y) - многочлен от координат x и y. Например, окружность x2 + y2 - 1 = 0 и кривая x3 + x2 - y2 = 0 - алгебраические кривые, а y - sin x = 0 - трансцендентная кривая (т.е. алгебраической кривой не является). Алгебраическое уравнение с тремя неизвестными определяет алгебраическую поверхность в пространстве. Две алгебраические поверхности пересекаются по алгебраической пространственной кривой. Понятия "алгебраическая кривая" и "алгебраическая поверхность" допускают обобщения в пространствах размерности более трех, где их аналогами служат алгебраические многообразия.Одна из наиболее важных задач алгебраической геометрии - исследование пересечения двух или более алгебраических многообразий. Основной результат в этой области состоит в том, что у двух алгебраических плоских кривых, заданных уравнениями степеней m и n, не может быть более mn общих точек, если только нет общей кривой (принадлежащей им обеим). Например, прямая (уравнение первой степени) и окружность (уравнение второй степени) могут иметь самое большее две общие точки, но могут иметь и только одну общую точку (если прямая касается окружности) или ни одной. Особая точка алгебраической плоской кривой характеризуется тем, что в ней может существовать более одной касательной. Число касательных называется кратностью точки. Например, (0,0) - особая точка кривой x3 + x2 - y2 = 0. Для любой кривой заданной степени существует предел числа и кратности особых точек, и многие свойства кривой определяются характером ее особых точек. Гораздо сложнее обстоит дело в случае поверхностей и других многообразий. Например, на алгебраической поверхности помимо конечного числа изолированных особых точек могут быть несколько особых кривых, т.е. кривых, каждая точка которых - особая. Переход от кривой f (x, y) = 0 к кривой f (x, xy) = 0 характерен для процесса, известного как квадратичное преобразование. Например, уравнение x3 + x2 -y2 = 0 преобразуется в x3 + x2 - x2y2 = 0 или в x + 1 - y2 = 0 после деления всех членов уравнения на x2. В этом случае у преобразованной кривой нет особых точек, и можно показать, что с помощью последовательности квадратичных преобразований особые точки любой алгебраической кривой можно превратить в неособые. Квадратичное преобразование - простейшее в общем классе бирациональных преобразований. Алгебраическая геометрия в значительной мере занимается изучением действия таких преобразований на кривые и другие алгебраические многообразия, в частности, определением свойств, не изменяющихся при таких преобразованиях. В своем современном виде методы алгебраической геометрии применяются во многих областях математики: теории чисел, теории групп, топологии, теории дифференциальных уравнений и функциональном анализе.
ЛИТЕРАТУРА
Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. М., 1972 Хартскорн Р. Алгебраическая геометрия. М., 1981

  1. алгебраическая геометрия—раздел математики изучающий алгебраические многообразия. Так называются множества точек в nмерном пространстве координаты которых xsub xsub.xnsub являются решениями сист...Большая Советская энциклопедия II
  2. алгебраическая геометрия—раздел математики изучающий алгебраическиекривые поверхности и их многомерные обобщения алгебраическиемногообразия....Большой энциклопедический словарь II
  3. алгебраическая геометрия—АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ раздел математики изучающий алгебраические кривые поверхности и их многомерные обобщения алгебраические многообразия....Большой энциклопедический словарь III
  4. алгебраическая геометрия—АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ раздел математики изучающий алгебраические кривые поверхности и их многомерные обобщения алгебраические многообразия....Большой Энциклопедический словарь V
  5. алгебраическая геометрия—раздел математики изучающий алгебр. кривые поверхности и их многомерные обобщения алгебр. многообразия....Естествознание. Энциклопедический словарь
  6. алгебраическая геометрия—раздел математики изучающий геометрич. объекты связанные с коммутативными кольцами алгебраические многообразияi и их различные обобщения схемы алгебраические пространств...Математическая энциклопедия
  7. алгебраическая геометрия—АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ раздел математики изучающий алгебраические кривые поверхности и их многомерные обобщения алгебраические многообразия....Новый большой англо-русский словарь II
  8. алгебраическая геометрия—algebraic geometry...Русско-английский словарь по физике
  9. алгебраическая геометрия—алгебрачная геаметрыя Гдз по алгебре класс Гдз по алгебре класс...Русско-белорусский математический словарь
  10. алгебраическая геометрия—geometria algebrica...Русско-итальянский политехнический словарь
  11. алгебраическая геометрия—АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ раздел математики изучающий алгебраические кривые поверхности и их многомерные обобщения алгебраические многообразия....Современный энциклопедический словарь
  12. алгебраическая геометрия—АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ раздел математики изучающий алгебраические кривые поверхности и их многомерные обобщения алгебраические многообразия....Энциклопедический словарь естествознания
  13. алгебраическая геометрия—АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯраздел математики занимающийся изучением геометрических объектов связанных с алгебраическими уравнениями и их обобщениями. Простейший из таких объ...Энциклопедия Кольера II