ЛОГИКА МНОГОЗНАЧНАЯ

ЛОГИКА МНОГОЗНАЧНАЯ— обобщение классической двузначной логики С₂Логика высказываний),посредством которого к обычным истинностным значениям«истина»и«ложь»добавляются другие истинностные значения. Именно на этом пути была впервые построена в 1920 Я. Лукасевичем трехзначная логика с целью опровержениялогического фатализма.

К двум истинностным значениям — 1 (истина) и 0 (ложь) — Лукасевич добавляет третье, промежуточное, истинностное значение '/,, интерпретируемое как «возможность». Исходными логическими связками являются —» (импликация) и \логика многозначная (отрицание). Оставляя классические значения для импликации —> и отрицания \логика многозначная, когда аргументы принимают значения и з множества 0, 1 , Лукасевич следующим образом доопределяет логические связки:

(1-*7₂) = ( 7₂0 ) = 7₂,

( 0 7₂) = (7₂-*7₂) = ( 7₂1 ) = 1, \логика многозначная7 = 7.

Посредством исходных связок определяются v (дизъюнкция), л (конъюнкция) и=(эквиваленция):рvq =(р -q)->q,pл q =\логика многозначная\логика многозначнаярv\логика многозначнаяq), р q = (р- q) л (q-p).

Связкирvq upлq,как и в С₂, есть гаях иminсоответственно от значенийриq.ФормулаАявляется общезначимой (тавтологией), если при любом приписывании значений из множества 1,7₂,0 переменным, входящим вА,формулаАпринимает значение 1. Трехзначная логика Лукасевича обозначается посредством Ь₃.

Логика L₃оказалась весьма необычной; например, в ней не имеют места низакон исключенного третьего рv\логика многозначнаяр,низакон непротиворечия \логика многозначнаярл\логика многозначнаяр).Отметим, что, в отличие от С₂множество связок \логика многозначная, л, v недостаточно для определения —».

В 1931 L была аксиоматизирована М. Вайсбергом. Обобщение на п-значный случай было сделано Лукасевичем в 1922, где в качестве истинностных значений выступают дробные числа 0, 1/я-1,...,n-2/n-l,1 . Длях, уиз этого множества мы имеем: х —> у =min(l,1 - х + у), \логика многозначнаях = 1-х.

Непосредственным обобщением С₂является п-значная логика Поста Р (1921), где в качестве истинностных значений выступают натуральные числа 0,1,...,п—1, а исходными связками являются дизъюнкция и отрицание: х v у =тах(х,у) и — о с = х + 1(mod n).

Изучение L иР составило важнейший этап в развитии теории М. л. Основной проблемой здесь остается интерпретация истинностных значений (первая работа в этой области принадлежит А.А. Зиновьеву, 1959). Для широкого класса М. л. эта проблема решена А.С. Карпенко (1983) в терминах классических истинностных значений.

Теперь перейдем к общей теории М. л. Система М = <М,v, л,ZD,— I,D >называется логической матрицей, где М • множество истинностных значений;Dс М есть множество выделенных значений; v, л, з • двуместные, а — 1 С одноместная операции наМ.Функция оценки v формул в матрице М и общезначимость определяются обычным образом (см.Логика высказываний).Логическая матрица называется характеристической для исчисления высказываний L, если общезначимы те, и только те, формулы, которые выводимы в L.

При изучении М. л. понятие функции является основным и наряду с булевыми функциями (функциями двузначной логики) используется для описания дискретных устройств, компоненты которых могут находиться в некотором числе различных состояний. Произвольная функция Дх..., х ) от любого конечного числа переменных, областью определения которых и областью значения самой функции является множество М = 0, 1, 2,...,п—1, называется и-значной функцией, или функцией и-значной логики. Функция, полученная из функций/,...,/ подстановкой их друг в друга и/или переименованием аргументов, называется суперпозицией/,...,/..

Для многих специалистов, связанных с вычислительной техникой, инженеров, прикладных математиков и физиков большее значение имеет представление М. л. в виде функциональной системы, обозначаемой (Р, Q, где Р есть множество всех функций и-значной логики с заданной на нем операцией суперпозиции С, а сама функциональная система (Р, С) зачастую отождествляется с М. л.

Важнейшее свойство функциональной системы есть свойство функциональной полноты. Система функцийR= f j,..., f_k,... изР_пназывается функционально полной, если любая функция из Р_ппредставима посредством суперпозиций функций из системыR.Логика Поста Р, как и С₂, является функционально полной. Отсюда их исключительно широкое применение и развитие, поскольку можно реализовать любую релейно-контактную схему.

С понятием полноты связано понятие операции замыкания и замкнутого класса. ПустьRcz P. Множество всех функций, которые могут быть получены из функций системыRс помощью операции суперпозиции, называется замыканиемRи обозначается[R].Класс функций 5? называется (функционально) замкнутым, если[R]=R.

Сложной технической проблемой для и-значных логик остается распознавание полноты для произвольных систем. СистемаRфункций называетсяпредполнойвР_п,еслиRпредставляет не полную систему, но добавление кRлюбой функции f такой, что f е Р_пи f gRпреобразуетRв полную систему. Важная роль предполных классов функций видна из следующей теоремы, которая формулирует критерий функциональной полноты: система функцийRи-значной логики полна т.т.т, когда она не содержится целиком ни в одном предполном классе. Г. Розенбергом в 1970 было дано описание всех предполных классов в и-значной логике.

В 1970 относительно логик t B. K. Финном была установлена связь функциональной предполноты с простыми числами. Следствия из этого открытия оказались совсем неожиданными (см.Карпенко А.С.Логики Лукасевича и простые числа. М., 2007).

Глобальной задачей для М. л. остается описание решетки замкнутых классов функций. Для двузначной логики эта задача полностью решена Постом в начале 20-х гг., где установлено, что мощность множества замкнутых классов в Р₂счетна, а позже дается полное описание решетки замкнутых классов. Однако с М. л дело обстоит совсем по-другому. Оказалось, что имеются существенные различия между С₂и М. л., говорящие о принципиальной несводимости второй к первой: ужеРсодержит континуум замкнутых классов. Таким образом, за счет добавления только одного истинностного значения к С осуществляется переход от счетности к континуальности, от дискретности к непрерывности!

Особый интерес в силу их различных приложений представляют собой бесконечнозначные логики. Исторически первой такой логикой была бесконечнозначная логика Лукасевича L (1929), в которой множеством истинностных значений является замкнутый интервал [0, 1]. Другим интересным и весьма важным примером являетсяинтуиционистская логика.

В заключение заметим, что ни одно из направленийнеклассических логиктак бурно не развивается, как М. л. Это объясняется всевозможными приложениями и применениями М. л в различных областях науки и техники, втеории множеств(доказательство независимости аксиом), при решении теоретико-множественных парадоксов (трехзначная логика Д.А. Бочвара, 1938), в лингвистике, в медицинской диагностике и особенно в компьютерных науках.

Лит.:Бочвар Д.А., Финн В.К.О многозначных логиках, допускающих формализацию анализа антиномий // Исследования по математической лингвистике, математической логике и информационным языкам. М., 1972;Зиновьев А.А.Философские проблемы многозначной логики. М., 1960;Карпенко А.С.Многозначные логики. Сер. «Логика и компьютер». Вып. 4. М, 1997;Кудрявцев В.Б.О функциональных системах. М., 1981;Яблонский СВ.Функциональные построения в k-значной логике // Т р у д ы математического института им. В. А. Стеклова. Т. 51.1958; Computer Science and Multiple-valued Logic: Theory and Applications. Amsterdam, 1977 (2nd revised ed. 1984);Gottwald S. ATreatise on Many-Valued Logics. Baldock, 2000;Malinowski G.Many-valued logics. Oxford, 1993;Rescher N.Many-valued logic. N. Y., 1969; Modern Uses of Multiple-valued Logic. Dordrecht, 1977;Urquhart A.Basic many-valued logic // Handbook of Philosophical Logic. 2nd ed. Vol. 2. Dordrecht, 2001.