Энциклопедический словарь

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ И ПОТЕНЦИАЛ

Потенциальная функция и потенциал — В статьях Гамильтоново начало (см.), Механика (см.) и в некоторых других упоминалось о силах, имеющих потенциал или потенциальную функцию. Под силой, приложенной к материальной точке и имеющей потенциальную или силовую функцию, подразумевается такая сила, проекции которойX,У,Zна оси координат выражаются производными от некоторой функцииU(от координитx,у,zточки) по соответственным координатам, т. е.X = dU/(dx),Y =(dU)/(dy),Z =(dU)/(dz).Такая функцияUназывается П. функцией этой силы. Сколько известно, первым, указавшим на существование такой функции, и именно у сил тяготения, был Лаплас ("M écanique cé lesie"), a самый термин П. функция встречается в сочинении Грина (см.): "An essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism", напечатанном в 1828-м г.; но нельзя поручиться за то, что Грин первый ввел это название. Если система материальных точек подвержена только таким силам, проекции которых на оси координат суть производные по соответственным координатам от некоторой функцииUот координат точек системы, то эту функциюUназывают потенциалом сил этой системы. То обстоятельство, что все силы природы принадлежат именно к числу таких сил, дает весьма важное значение потенциалу и П. функции в механике и физике. Прежде всего следует указать, как изменяетсяобщий закон изменения живой силы(см.) материальной системы, если силы, действующие на нее, имеют потенциал. Дело в том, что сумма элементарных работ таких сил при бесконечно малом перемещении системы равняется дифференциалу или бесконечно малому изменениюdUпотенциала, а так как та же сумма, по общему закону изменения живой силы, равняется бесконечно малому измнениюdTживой силыТсистемы, тоdT = dUи отсюдаТ — U=h,гдеhвеличина постоянная на всем движении системы. Обыкновенно называют живую силу системы еекинетической энергией,а отрицательно взятую функцию —потенцильной энергией.РавенствоТ — U = hвыражает, что сумма обеих энергий остается постоянной при движении, или, как говорят:полная энергия системыостается при движения постоянной. К числу сил, имеющих потенциал, принадлежат силы взаимного притяжения или отталкивания между двумя материальными точками, если эти силы равны и противоположны, направлены по линии, проходящей через обе точки и величины их равны какой-либо функцииf(r) расстоянияrточек. Потенциал таких взаимнодействующих сил есть , где верхний знак (плюс) должен быть поставлен в случае сил отталкивания, а нижний (минус) — в случае сил притяжения. Например, для сил тяготения, подчиняющихся закону Ньютона, величина сил притяжения между материальными точками масстиМравна отношениюεтМкr2, поэтому потенциал этих двух сил будет ε [(mM)/r], здесь ε множитель, точная величина которого может быть определена при полном знании вида поверхности земли, внутреннего строения ее и величин ускорения силы тяжести в разных местах ее поверхности. Если имеется сплошное тело. частицы которого притягивают материальную точку по закону Ньютона, то равнодействующую сил притяжения можно будет определить, если определим П. функцию этих сил. Лаплас, Пуассон и Гаусс ("Allgemeine Lehrs ätze in Beziehung aut die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Krä fte"; "C. F. Gauss Werke", т. 5) доказали, что П. функция таких сил обладает следующими свойствами, если размеры тела не бесконечно велики и если плотность его нигде не имеет бесконечно большой величины:a) П. функцияVсил притяжения телом точки есть функция ее координатх,у,z, сплошная и конечная,b) производные ее (dV)/(dx),(dV)/(dy),(dV)/(dz)тоже сплошны и конечны,с) Сумма трех производных второго порядка: Δ2V =(d2V)/(dx2)+(d2V)/(dy2)+(d2V)/(dz2)=0 при положении точки вне тела иd) эта сумма Δ2Vравна — 4πεσ mпри положении точки внутри тела; здесьσозначает плотность тела в том месте, где находится притягиваемая точка,т— массу ее. Свойствосдоказано Лапласом, свойствоd— Пуассоном. П. функция однородного шара плотностиσ, радиусаRи массыМ= 4/3πσ R2на точку массы равной единице выражается отношениемε Mкr(гдеrесть расстояние точки от центра шара), если точка находится вне шара; поэтому сила притяжения, действующая на точку, направлена к центру шара, обратно пропорциональна квадрату расстоянияrи такова, как будто бы вся масса шара была сосредоточена в его центре. Если точка находится в массе шара на раcстоянииrот центра, то П. функция выражается так: 2πεσ(R2—[1/3]r2)и сила притяжения опять направлена к центру шара, но имеет величину (4/3)πεσ r,илиε(4/3)πσ(r3/r2)т. е. равна отношениюεМ1кr2, гдеМ1= (4/3)πσ r3есть масса той части шара, которая находится внутри сферы радиусаr. Отсюда следует, что тот слой шара, который заключается между сферами радиусовRиr, не оказывает притяжения на точку. Если определять притяжение, оказываемое однородным сферическим слоем, заключающимся между концентрическими сферами, или однородным слоем, заключающимся между двумя концентрическими и подобными эллипсоидами, на точку, находящуюся внутри пустых полостей которого-либо из этих тел, то окажется, что действия сил внутри полости нет.Поверхность уровня.Если равнодействующая сил, приложенных к материальной точке,имеет П. функциюV1, то все пространство, в котором может находиться точка, можно представить себе заполненными системой беcконечного множества поверхностей, на каждой из которыхVимеет одну и ту же величину. Такие поверхности называютсяповерхностями уровня, каждая из них имеет свойпараметр, а именно ту численную величину, которую имеетVв точках этой поверхности. Сила, действующая на точку, направлена всегда по нормали к той поверхности уровня, на которой находится точка, и направлена в ту сторону, где находятся поверхности уровня с параметрами большими параметра, свойственного этой поверхности. Величина силы равняется положительно взятому корню из суммы квадратов производных отVпох,у,z; эта величина: называетсядифференциальным параметромповерхности уровня в рассматриваемой точке. В гидростатике (см.) доказывается, что жидкость, капельная или упругая, может быть в равновсии только под влиянием сил, имеющих П., и что при таком состоянииповерхности уровня, где потенциал имеет одну и ту же величину, суть вместе с тем и поверхности одинакового гидростатического давления (см.), а при равновесии газообразных масс или упругих жидкостей поверхности уровня суть поверхности равной плотности и равного давления.Д.Б.Учение о потенциале играет весьма большую роль в теории электрических и магнитных явлений. Электрические явления вообще происходят так, как если бы существовали два особых вещества, или флюида, действующих друг на друга по закону Кулона, т. е. с силой, пропорциональной произведению взаимодействующих количеств и обратно пропорциональной квадрату их расстояния. Эти флюиды для краткости называют положительными и отрицательным электричествами. Они находятся на поверхности наэлектризованных тел, а явление электрического тока может быть рассматриваемо как течение этих электричеств в проволоках, причем течение положительного электричества в одном направлении и течение отрицательного электричества в противоположном направлении могут быть рассматриваемы как явления между собой тождественные. Единица количества электричества есть такое количество, которое на равное ему, находящееся на единице расстояния от него, действует с силой, равной единице силы.С.G. S.— единица количества электричества — получается, когда расстояние 1 стм и сила 1 дина. Кулон = 3.109C.G. S.единиц электричества. Если мы имеем наэлектризованные тела, то потенциалVв любой точкеMпространства равен работе, которую производят электрические силы при переходе единицы электричества изMпо произвольному пути в бсзконечность, или на весьма большое расстояние. В различных точках пространстваV— различное. Если количествоηэлектричества переходит из точкиMв другую точкуN, то работаρэлектрических сил равнаρ=η(V1—V2) гдеv1иV2потенциалы в точкахMиN.Так как работаρможет быть только положительная, еслиηперемещается (течет) под влиянием электричееких сил, то ясно, что положительное электричество (η >0) течет всегда от мест большего к местам меньшего потенциала (V1> V2).Аналогично этому и теплота течет всегда от мест большей (более высокой) темп. к местам меньшей (более низкой) темп.; потенциал же аналогичен темп. (см. ниже). Другая аналогия: жидкости текут под влиянием силы тяжести от мест большей высоты к местам меньшей высоты. Внутри проводника электрическая сила должна везде равняться нулю, без чего невозможно равновесие электричества и внутри проводника появляются новые количества электричества (произойдет, как прежде говорили, разложение нейтральной смеси обоих электричеств). Если сила есть нуль, то и работа ρ, произведенная при мысленном перемещенииηизMвN, тоже нуль (МиNпроизвольные точки внутри проводника). Отсюда следует, чтоV1= V2; но ввиду произвольности положения точекMиNэто равенство показывает, что все точки наэлектризованного проводника находятся при одном и том же потенциалеV.Эта величина называется потенциалом самого проводника. Если соединить (длинной тонкой проволокой) два наэлектризованных тела (проводника), то+ηпотечет от тела, имеющего больший потенциал, к телу, имеющему меньший потенциал. Тела находятся при одинаковом потенциале, если при их соединении не происходит между ними обмена электричества. П. тела аналогичен, таким образом, температуре тела, т. е. степени нагретости. Потенциал есть мера степени электризации тела: для равновесия электричества на нескольких соединенных между собой проводниках необходимо, чтобы они все находились при одном потенциале. Единица потенциала (или разности потенциалов) равна разностиV1—V2потенциалов двух точекMиN, когда при переносе η=1 изMвNсовершается работа ρ=1, или она равна потенциалу шара, радиус которогоR= 1, если на его поверхности находится η=1.ВC.G. S.системеV1—V2=1, когда при переносе η=1С.G. S.совершается. работа ρ=1 эргу или когда η =1С.G.S.находится на шаре, для которогоR=1 стм. Другая единица потенциала или разности потенциалов, употребляемая на практике, называется "вольт"; вoльт = 1/300С.G.S.единицы потенциала, только что определенной. Емкостьqтела определяется количеством электричества, увеличивающим потенциал тела на единицу. Зарядη, потенциалVи емкостьqсвязаны равенствомη=qV;С. G.S.единицей емкости обладает шар, для которогоR=1 стм Фарада = 9.1011C.G. S.единиц емкости. ЭнергияEзаряженного проводника выражается одной из формулE =1/2η V = η2/2q =1/2qV2Если η,Vиqвыражены вС.G. S.единицах, тоЕполучается в эргах, если жеηиqв кулонах, вольтах и фарадах, тоЕв джоулях (107эргах = 0,102 кг-метр. = 0,24 мал. калории). Если два проводникаАиВпервого класса (металлы, уголь и т. д., не подвергающиеся электролизу) соприкасаются, то между ними устанавливается разность потенциаловV1—V2, не зависящая ни от формы тел, ни от поверхностиSсоприкосновения, а только от рода веществАиВи от их физического состояния, например от их температуры. Причина скачкаV1—V2потенциала при переходе черезSназывается электродвижущей (эл. двиг.) силойе; она измеряется разностьюV1—V2,т. е. принимаетe=V1—V2.Следовательно, единицей электродвижущей силы можно принять вольт. Если символически изобразитьечерезе = А|В, то закон Вольта говорит, чтоА|В + В|С = А|С, гдеСтретье тело. Для замкнутого ряда проводников первого класса, например металлов, получаемА|В + B|C + C|D +...N|М + M|А =0, т. е. сумма скачков потенциала или сумма эл. дв. сил равна нулю. Проводники второго класса (растворы солей и кислот, вообще электролиты) не следуют закону Вольты. ЕслиSраствор, тоА|S + S|В ≠ А|В; для комбинацииA,S,В,А(например, медь — кислота — цинк — медь) имеетА|S + S|В + В|А ≠0.Такая комбинация есть разомкнутый элемент или разомкнутая цепь; сумма действуюших в ней эл. дв. сил (сумма скачков потенциала) не равна нулю; эта сумма называется эл. дв. силойЕэлемента. Она равна разности потенциалов на концах (электродах) разомкнутой цепи. В замкнутой цепи статическое состояние невозможно, еслиЕне нуль. Должно установиться непрерывное течение электричества, одинаковое во всех частяхт" цепи. Но +ηможет течь только от больших потенциалов к меньшим, а потому потенциал должен во всех частях уменьшаться или падать вдоль цепи по направлению течения +η. Если мысленно обойти всю цепь, то сумма встречающихся изменений потенциала должна равняться нулю; следоват., сумма всех падений равна сумме скачков, или сумма падений равнаЕ.ЕслиJ— сила тока,rсопротивление произвольного, но однородного отрезка цепи, и еслиV1— V2падение потенциала в этом отрезке, тоJ=(V1-V2)/r. Так какJвезде одинаковое, то падение потенциала пропорционально сопротивлению отрезка цепи, или на равные сопротивления приходятся равные падения. ЕслиV1—V2выражено в вольтах,Jв амперах (кулон электричества протекает в сек.), тоrвыражено в омах. Если написать подобные же выраженияJдля всех частей цепи, тоJдолжно также равняться сумме числителей (сумме падений), деленной на сумму знаменателей (сопротивлениеRвсей цепи). Но сумма падений естьЕ, следовательно,J=E/R; это закон Ома. На измерении разности потенциалов на концах разомкнутой цепи основаны статические способы измерения эл. дв. сил элементов. Работа ρ, совершаемая в части цепи, равна (см. выше) ρ = η (V1—V2); но η =Jt, гдеtвремя, ибоJизмряется количеством электричества, протекающим во времяt=1;далееV1—V2=rJ. Отсюда работа ρ =J2rt; эквивалентное ей количество теплоты выделяется в цепи. Эта формула выражает закон Ленца и Джоуля. ЕслиJ,rиtвыражены в амперах, омах и секундах, то работа или теплота ρ получается в джоулях (см. выше). Для всей цепи ρ =J2rt=Jet.Из формулыJ=(V1—V2)rлегко получаются законы Кирхгофа о разветвлениях тока. В термодинамике играет роль термодинамический потенциал, не отличающийся существенно от "свободной энергии" Гельмгольца, от функции Массье (Massleu) и от функции Джиббса (Gibbs; см. Энергия).О. X.


  1. потенциальная функция и потенциал—В статьях Гамильтоново начало см. Механика см. и в некоторых других упоминалось о силах имеющих потенциал или потенциальную функцию. Под силой приложенной к материальной ...Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона