Энциклопедический словарь

ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

Исчисление конечных разностей — Конечной разностью функции от одной или нескольких переменных называется приращение функции при данных конечных приращениях переменных независимых. Под И. конечных разностей разумеют совокупность правил: 1) для определения изменений, которым подвергаются функции при конечных приращениях входящих в них переменных, и 2) для определения первообразных функций, когда измененные их виды известны (прямой и обратный способы). При первом появлении дифференциального исчисления приращения переменных величин рассматривались как бесконечно малые величины, вторыми и высшими степенями которых пренебрегали, вследствие чего у многих из математиков явилось сомнение в строгости самого способа и верности результатов, получаемых дифференциальным исчислением. Чтобы доказать справедливость нового способа, английский математик Тейлор, в своем сочинении " Methodus incrementorum directa et inversa", изданном в 1715 году, предложил способ И. конечных разностей, в котором приращения переменных рассматривались как конечные величины, высшими степенями которых уже нельзя пренебрегать. Однако И. конечных разностей, представляющее в сущности И. рядов, имеет, как заметил Лагранж, мало общего с дифференциальным исчислением, предмет которого есть исчисление производных функций. Первые следы И. конечных разностей видны в некоторых приемах Фермата, Баррова и Лейбница, но основателем способа, как самостоятельного исчисления, следует считать Тейлора. Позднейшими за тем исследователями были Николь, Кондорсе, Эмерсон, Эйлер, Лагранж и Лаплас. Они усовершенствовали эту важную отрасль чистого анализа и показали различные ее приложения к интерполированию и суммированию рядов, к теории соединений и в особенности к теории вероятностей. I.Прямой способ разностей,или собственно И.конечных разностей.Если имеется некоторая функцияу=f(х) и для переменной независимой взяты последовательные значениях1, х2, х3..,тоутоже получит последовательные определенные значенияу1, у2, y3... Разности между двумя последовательными значениями функции, т. е.у2—у1, у3—у2...называютсяпервыми разностямии означаются через Δу1,Δy2... Разности двух последовательных первых разностей называютсявторыми разностямиданной функции и обозначаются через Δ2уи т. д. означая разности последовательных значенийхтоже через Δх1,Δх2и т. д. выходит Δх1=х2—х1Δх2=х3—х2....................... ....................... Δхn—1=xn—xn—1Откудаx2=x1+Δx1x3=x1+Δx1+Δx3................................ ................................xn=x1+Δx1+Δx2+...+xn—1,так что каждое следующеехполучается из начального и всех предыдущих разностей. Таким же образом существует закон для получения последовательных значений функцийу,именно: Δу1=у2—у1Δу2=у3—у2..................... ..................... Δyn—1=yn—yn—1… (1) Откуда:у2=у1+Δу1, у3=у2+Δу2=у1+Δу1+Δ (у1+Δу1)=у1+ 2 Δу1+Δ2у1уn=у1+nΔy2+([n(n— 1)]/2)(Δ2y1)+...+ΔnynРазности высших порядков будут Δ2y1=Δy2—Δу1,=у3—2у2+у1,Δ3y1=Δ2y2—Δ2y1=y4—3 Δ3у3+3y2—у1,Δny1=yn—nyn— 1+([n(n— 1)]/2)(yn— 1)...± yТаким образом значенияуnи Δnуможно представить символическими формулами:yn=(1+Δy)nи Δny=(y— 1)n… (2) в которых показатели степени следует заменить показателями порядкауи Δу. Развертывая Δув ряд Тейлора и означая производные функции (см. Дифференциальное И.) отупохчерез (dy/dx)(d2y/d2x) получим: Δy=(dy/dx) Δx+(d2y/dx2)(Δx2/2)+...,если вместо у последовательно вставлять Δу, то будет: Δny=A(dny/dxn)(Δxn)+A1(dn+1y/dxn+1)(Δxn+1)+...,Развертывая первую часть в ряд по символической формуле (2) и сравнивая коэффициенты у одинаковых степеней Δхможно определить коэффициентыА, А1,… Приведем табличку конечных разностей некоторых простейших функций: 1)у=xn,Δy=nxn— 1Δx+([n(n— 1)]/2)(xn—2Δx2)+...+ΔxnΔny=n(n— 1)(n—2)...1∙ Δ xn2)у=uv;Δу=иΔv+vΔu+ΔuΔv3)y=u/v;Δy=ex4) 5)y=lgx;Δy=lg(1+Δx/x) 6)y=Sinx;Δу=2Cos(x+Δx/2)Sin(Δx/2) 7)y=Cosx;Δy=—2Sin(x+Δx/2)Sin(Δx/2) II.Обратный способ разностей,илиИ. конечных сумм.Если имеется уравнение Δy=f(x) … (3), гдеf(x) изображает данную, аунеизвестную функцию от переменнойx,то определение первообразной функцииуприводится к суммированию (интегрированию в конечных разностях) функцииf(x).Интеграл в конечных разностях у обозначают греческой Σ, поставленной перед функцией, для которой ищут первообразную, так чтоу=Σf(x) Покажем, что нахождение первообразной функции у приводится к суммированию. Слагая равенства (1), получаем:yn=y1+Δy1+Δy2+...+Δyn— 1Положим, что приращение Δxпеременной независимойхпостоянное, и обозначим его черезh. Кроме того, пустьу1соответствует начальному значениюx,равномуа.Тогда, принимая во внимание уравнение (3) и обозначаяу1черезА,получимy=A+f(a)+f(a+h)+...+f[(а+(n— 1)h] … (4). Еслиа+nhобозначить черезx,то последнее выражение увеличится наf(а+nh)=f(x),когда приписать приращениеhк последнему значениюа+(n— 1)hвеличиныx;следовательноf(x) есть действительно разность второй части, а потому у есть результат суммирования. — Эйлер заметил, что, подобно тому, как в интегральном И., существует бесчисленное множество функций, имеющих заданную производную, причем все эти функции отличаются на постоянные величины, так и в обратном способе разностей, чтобы найти самое общее значение функции, имеющей данную разность, необходимо прибавлять выражение, которое играло бы роль постоянного числа интегрального И., т. е. такое выражение, которое не меняется от прибавления кхпостоянного числаh. Этому условию удовлетворяют многие функции, например Sin(2 π /n)иCos(2 π /n). Не излагая правил для суммирования простейших функций, которые имеют большую аналогию с правилами интегрирования функций, приведем здесь простейшие выражения сумм, причем заметим, что конечный интеграл суммы равен сумме интегралов и что постоянный множитель можно выносить из под знака конечной суммы. На основании этих двух формул можно суммировать любые целые и дробные, рациональные, функции. Мы не будем останавливаться здесь на суммировании иррациональных алгебраических функций, потому что случаи, в которых конечные интегралы выражаются просто, очень редки. Заметим, что, подобно тому, как и в интегральном И., Σ (1/х) не может быть выражено в алгебраическом виде. Для функций трансцендентных имеются формулы: Σax=ax/ah—1Σxmax=axF(xm+Bm—1...)(5) Σ lg(1+h/x)=lgxΣ Sin(a+bx)=—[Cos(a+bx—[bh]/2)]/[2Sin([bh]/2)] Σ Cos(a+bx)=—[Sin(a+bx—[bh]/2)]/[2Sin([bh]/2)] Легко заметить, что сумма: Σ (Axα+Bxβ+...)SinmxCosnx,еслиα, β...mиnчисла целые и положительные, приводится к (5) введением мнимостей. Для пояснения вышеприведенных формул применим их к вычислению суммы квадратов и суммы кубов натуральных чисел. 1) Суммируя тождествоx2=x(х+1)—x… (а),имеем Σx2=Σx(x+1)—Σx=[(x— 1)x(x+1)]/3—[(x— 1)x]/2 или Σx2=[x(x— 1)(2x— 1)]/6 2) Суммируя тождествоx3=x(x+1)(x+2)—3x(x+ 1)+x… (b),имеем Σx3=[(x— 1)x(x+1)(x+2)]/4 —[(x— 1)x(x+1)]+[(x— 1)x]/2 или формула, известная еще китайским математикам. Не нужно забывать, что, согласно уравнению (4), под знаком Σf(x) разумеются выраженияf(1), f(2)...f(x— 1).Что касается тождеств (а) и (b), то их выводят для каждого частного случая, из общих разложений для любой целой функции; приличным выбором постоянныхА0, А1,...Аnвсегда можно удовлетворить тождеству: По аналогии с дифференциальными уравнениямиуравнением в разностяхназывается всякое уравнение, заключающее переменные величины и их разности. Если обозначим черезуискомую функцию от одной переменойx,приращение которой положим постоянной, то общий вид разностного уравнения есть:F(х, у,Δу,Δ2у...)=0. Вместо разностей Δу,Δ2у... можно подставить равные им величиныу1—у, у2—2у1+y... и тогда предыдущее уравнение обратится вf(x, у, у1, у2...)= 0. В этом виде обыкновенно и рассматриваются уравнения в разностях.Интегрироватьуравнение в конечных разностяхзначит найти все возможные функции, удовлетворяющие этому уравнению. Методы И. конечных разностей излагаются в курсах дифференциального и интегрального И. Литературу предмета см. соответствующие статьи, а также А. Марков, "И. конечных разностей".В. Витковский.


  1. исчисление конечных разностей—mathcalcul aux diffrences finies...Политехнический русско-французский словарь
  2. исчисление конечных разностей—calculus of finite differences...Русско-английский морской словарь
  3. исчисление конечных разностей—calculus of enlargement calculus of finite differences...Русско-английский политехнический словарь
  4. исчисление конечных разностей—calculus of finite differences...Русско-английский словарь по машиностроению
  5. исчисление конечных разностей—calcolo delle differenze finite...Русско-итальянский политехнический словарь
  6. исчисление конечных разностей—Differenzenrechnung...Русско-немецкий политехнический словарь
  7. исчисление конечных разностей—diferenn poet...Русско-чешский словарь
  8. исчисление конечных разностей—Конечной разностью функции от одной или нескольких переменных называется приращение функции при данных конечных приращениях переменных независимых. Под И. конечных разнос...Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона