Энциклопедический словарь

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Интегрирование дифференциальных уравнений (определение и разделение на категории — см. Дифференциальные уравнения) — общий видобыкновенного дифференциального уравненияс одной независимой переменнойхи с одной искомой функциейуот этой переменной естьf(x, y, y‘, y"... y(n)) =0... (*) где функцияf— некоторая заданная функция отn+ 2 аргументовx, y, y‘, y".....у(n), знакамиу‘ у"...у(n)обозначен ряд последовательных производных искомой функцииу, а знакомп— порядок дифференциального уравнения, т. е. порядок высшей производной. Интегрировать дифференциальное уравнение (*) это значит найти все возможные функции от одного переменногох, которые вместе с соответственными производными по подставлении взаменy, y‘, у"...у(n)в уравнение (*) обратили бы его в тождество. Задача И. обыкновенного дифференциального уравнения некоторого порядка с одной неизвестной функцией есть задача неопределенная, что видно было уже в ст. Интегральное исчисление, при И. простейшего уравнения первого порядкаy‘ = f(x),общее решение которого естьу= ∫f(x)∙dx+Cи которое заключает произвольную постояннуюC; это замечание относится к уравнениям какого угодно порядка. Самым общим решением уравнения (*), его так называемымобщим интегралом,будет функция видаy = F(х, С1, C2......Сn)гдеC1, C2.....Cnнекоторые произвольные постоянные,независимые друг от друга.Всякое решение, которое получается из общего от подстановки вместо постоянных произвольных некоторых частных численных значений, называетсячастным решениемиличастным интеграломданного дифференциального уравнения. Эйлеру принадлежит в высшей степени важное замечание, развитое потом Лагранжем и другими математиками, о существовании у некоторых дифференциальных уравнений так назыв.особенных решений,которые не могут быть получены из общего интеграла через подстановку вместо постоянных произвольных некоторых численных значений, а получаются, считая постоянные произвольные некоторыми функциями отх.Отсюда видно, что задача И. дифференциальных уравнений с одной неизвестной функцией от одной независимой переменной приводится к нахождению: во-первых,общего интеграла,а во-вторых, — всехособенных решений. Пpимеpы:1. Интегрировать уравнение первого порядка:ху‘—у=0; написав это уравнение в видеx.dy—у.dx=0илиdy/y = dx/xи интегрируя обе части, находим ∫dy/y =∫dx/x. Откуда lgy= lgx+ lgCилиy = C..x2. Общий интеграл уравненияу" = уестьy = С1ex+ C2e-x.3. Для примера особенных решений рассмотрим геометрическую задачу:найти кривую, касательная к которой была бы в постоянном расстоянииаот начала координат.Уравнение касательной, проведенной через какую-нибудь точку(х,у)кривой, естьУ—y=y‘(X — x). Дифференциальное уравнение вопроса представляется в виде(у — у‘х)/(1 + y‘2)1/2=aилиy = y‘.x+а(1 + у‘2)1/2... (1) Дифференцируя относительноx, получим уравнение:0 = dy‘[x + ay‘/(1 + y‘2)1/2] которое разлагается на дваdy‘ = 0их + ay‘/(1 + y‘2)1/2=0. Из первого находим:y‘ = C.Oткуда на основании (I):у = С.х + а(1 + С2)1/2... (2) Из второго находим:x = -ay‘/(1 + y‘2)1/2... (3) Внося это в ур. (1), получим:y=a/(1 + y‘2)1/2... (4) Возвысив в квадрат и сложив уравнения (3) и (4), будет:x2+y2= а2... (5) Уравнение (2) представляет общий интеграл и выражает бесчисленное множество прямых, отстоящих от начала координат в расстоянииа; все эти прямые касаются окружности, определяемой уравнением (5), которое есть особенное решение заданного дифференциального уравнения. Из немногочисленных классов обыкновенных дифференциальных уравнений, приемы интегрирования которых известны, особенного внимания заслуживают так называемыелинейные уравнения.Общий их вид естьXoy(n)+X1y(n-1)+ ... +Xn-1y‘+Xny=YгдеХо,Х1....Хn-1,XnиYсуть некоторые заданные функции независимого переменногох. Если коэффициентыХо,Х1....Хпсуть постоянные, то линейное уравнение называетсяуравнением с постоянными коэффициентами;что касается функцииY, то, какова бы она ни была, линейное уравнение с постоянными коэффициентами всегда интегрируется в квадратурах. Остановимся на интегрировании линейных уравнений с тем, чтобы обратить внимание на весьма важный прием, употребляемый при И. дифференциальных уравнений, развитый Лагранжем и называемыйизменением произвольных постоянных(la variation des constantes arbitraires). Этот прием впервые встречается уже в теории Луны Эйлера и ныне имеет обширное применение в "небесной механике". Начнем с интегрирования линейного уравнения с постоянными коэффициентами, но без последнего члена, т. е. в которыхY=0. Таким образом, пусть задано уравнениеaoy(n)+a1y(n-1)+ ...+an-1y‘+any=0... (A) Для интегрирования такого уравнения находят спервапнезависимых решений этого уравненияу1,у2........уn, тогда общий интеграл уравнения (А) выразится формулойy = С1у1+ C2y2+...+ СnуnЧто касается частных решенийу1,y2....уп,то для линейного уравнения с постоянными коэффициентами они могут быть представлены в видеek.x, гдеk -корень уравненияаokn+а1kn-1+...+ an-1k + an=0... (В) Если заданные коэффициентыaо,a1.....аптаковы, что это алгебраическое уравнение имеетпразличных корнейk1, k2....kn, то запразличных решений заданного линейного уравнения без последнего члена (А) могут быть приняты функции так что общий интеграл будет иметь вид: В случае, если уравнение (В) имеет менее чемпразличных корней, т. е. если некоторые корни этого уравнения одинаковые (кратные), то форма общего интеграла уравнения (C) несколько видоизменяется, причем все-таки общий интеграл выражается функцией линейной и однородной относительно постоянных произвольныхC1,C2......Сп.Отсюда видно, что каковы бы ни были коэффициенты заданного линейного уравнения (А), его общий интеграл выразится формулой:у=С1у1+ С2y2+... +Сnyn... (D) гдеy1,y2......уnнекоторые найденные уже функции отх.Обратимся теперь к И. уравнений с постоянным членом, т. е. такого, которое отличается от ур. (А) тем, что во второй части вместо нуля стоит некоторая функция отх.Общий его вид будетaoy(n)+a1y(n-l)+ ...... +аn-1y‘+аny=Y... (Е) Покажем, что решение ур. (Е) можно представить в виде ур. (D), в котором значениеy1y2...ynостанется прежнее (частные решения уравнения без последнего члена), aC1,C2...Cnуже не постоянные, а некоторые функции отх.Выражаясь иначе, мы будем изменять (варьировать, считать переменными) постоянные, находящиеся в общем интеграле уравнения без последнего члена так, чтобы вышел общий интеграл уравнения с последним членом. Имея в виду, что нужно удовлетворить только одному уравнению (Е), переменных же постоянных имеется много,nдля упрощения задачи всегда можно предписать ряд новых условий, так, напр., можно потребовать, чтобы, кроме условия, что функция (D) есть решение уравнения с последним членом, все производные до порядкаn-1 включительно выражались одинаковыми формулами, как в случаеС1,С2...Сnпостоянных, так и в случае переменных. ЕслиC1,C2...Cппеременные, то, дифференцируя уравнение (D), получим:y‘=C1y‘1+C2y‘2+...+ Сny‘n+ С‘1у1+ С‘2у2+... +С‘nуn.Чтобыу‘выражалось одинаково, как в случаеСпостоянные, так и в случаеСпеременные, необходимо положить:С‘1y1+ C‘2у2+...+ С‘nyn=0... (F1) Тогда очевидноy‘=C1у‘1+ С2y‘2+...+Cny‘n... (G1) Подобным образом, чтобы вторые производные в обоих предположениях выражались одинаково, необходимо на основании дифференцирования уравнения (G1) положить:C‘1y‘1+C‘2y‘2+... +С ‘nу‘n= 0... (F2) тогда будетy"=C1y1"+С2y2"+...+ Сnyn"... (G2). Продолжая далее до (n-1)-й производной включительно, получимС‘1y1(n-1)+С‘2y‘2(n-1)+... +С‘nyn(n-1)= 0... (Fn-1) иу(п-1)=C1y1(n-1)+C2y2(n-1)+...+Спyп(n-1)... (Gn-1).Что касаетсяn-й производной, то она уже не будет одна и та же в двух предположениях и в случаеСпеременных представится в виде:y(n)=C1y1(n)+С2y2(n)+... +Спуп(n)+С‘1у1(n-1)+C‘2y2(n-1)+... +C‘nyn(n-1)... (Gn). Умножая уравнения (Gn), (Gn-1)... (G1) и (D) соответственно наao,a1,....an-1,anи складывая, найдем, что уравнение (Е) представится так:ao(C‘1y1(n-1)+C‘2y2(n-l)+.... +С‘nуn(n-1))+С1(аoу1(n)+а1y1(п-1)+... +any1) + C2(aoy2(n)+a1y2(n-1)+... +any2) + Cn(aoyn(n)+а1yn(п- 1)+... +аnyп)=Y. Так каку1y2....упне какиe-нибудь функции, а, как замечено уже выше, суть частные решения линейного уравнения без последнего члена, то легко видеть, что последнее уравнение обращается вС1y1(n-1)+C‘2y2(n-1)+.... +C‘nyn(n-1)=Y/ao... (Fn). Уравнения (F1), (F2).... (Fn) суть линейные первой степени относительноnнеизвестныхС‘1,C‘2...С‘nвсе коэффициенты этих уравнений — известные, вполне определенные функции отx, ибо функцияYзадана, а функцииу1, у2...уnуже найдены. Решая эту системуnуравнений первой степени относительноС‘1, C‘2... С‘nпо правилам элементарной алгебры, получим:C‘1=φ1(x) C‘2=φ2(x)......... .........C‘n=φn(x). А после И. будет:C1= ∫1(х)dх + Г1C2= ∫2(x)dx+Г2..................... .....................Сn= ∫n(х) dx +Гn. Если подставить эти выражения дляC1C2...Cnв уравнение (D), то получится и окончательный общий интеграл линейного уравнения с последним членом, именно:y=Г1y1+Г2y2+....+Гnуn+ y1∫1(x)dx + y2∫2(x)dx +...+уn∫n(x)dxИзменение произвольных постоянных как прием для И. применяется в тех случаях, когда заданное уравнение или систему уравнений интегрировать непосредственно весьма затруднительно, но можно, откидывая некоторые члены, получить новые уравнения такого вида, что можно написать их самые общие решения. Изменяя затем постоянные величины, входящие в эти решения, подбирают эти постоянные так, чтобы удовлетворились первоначально заданные уравнения. В механике встречается надобность интегрировать системы так назыв.обыкновенных совокупных уравнений.Пусть задана система.f1(x, у, z... u, у‘, z‘... и‘, y", z"...)= 0f2(x, y, z... u, y‘, z‘... u‘, y", z"...)= 0 ........................................................ fk(x, у, z... u, у‘, z‘... u‘, у", z"...)= 0. В эти уравнения входят: независимая переменнаях, nее пока произвольных функцийу,z.....uи ряд производных от этих функций по независимой переменнойхпервых или высших порядков. Такая система называется системойkобыкновенных совокупных уравнений сnнеизвестными функциями. Еслиn < k,то, вообще говоря, системе нельзя будет удовлетворить выборомnискомых функций и она будет возможна лишь при существовании некоторых условий, которым должны удовлетворить функцииf1,f2...fk. Еслиn>k, то некоторые из функций будут совершенно произвольны. Самый важный случай представляется прип=k, т. е. когда число уравнений равно числу искомых функций. Этот случай обыкновенно и рассматривается. Если система не содержит противоречий, то интегрировать ее — значит найти все возможные значения искомых функций, обращающие ее в тождество, другими словами, чтобы в искомом выражении этих функций через независимую переменную входилодостаточное числопроизвольных постоянныхнезависимых друг от друга.Каков бы ни был порядок каждого из уравнений системы, т. е. порядок, наибольший из порядков производных, входящих в эти уравнения, всегда можно, вводя новые искомые функции и увеличивая за то число уравнений системы, получить системуmуравнений сmнеизвестными функциями первого порядка, т. е. систему, в которой, кроме независимой переменнойхи искомых функций, войдут только первые от них производные пох.Сделать это весьма просто, принимая за новые функции производные от прежних до порядка на единицу меньше наибольшего порядка производной от соответствующей функции, входящей в рассматриваемую систему. К такого рода системам принадлежат системы, названные Якобиканоническимии к которым приводятся уравнения различных задач в механике. — Интегрирование всякой системыmуравнений сmнеизвестными функциямиm-ого порядка может быть приведено или к интегрированию одного уравненияm-ого порядка с одной неизвестной функцией или к интегрированию нескольких обыкновенных уравнений, из которых каждое заключает одну неизвестную функцию, сумма порядков которых равнаm. И. дифференциальных уравнений с частными производными.Основное отличие уравнений с частными производными от уравнений обыкновенных заключается в тех произвольных элементах, которые вводит их И.; именно при И. уравнений с частными производными приходится рассматривать такие решения, которые содержат произвольные функции от независимых переменных. Пусть дано уравнениеx(du/dx)+y(du/dy)+..... +t(du/dt)= n.... (1) гдеnнекоторое постоянное число, аи— искомая функция отmнезависимых переменныхх,у,....t. Так как в уравнение (1) входят частные производные только первого порядка, то такое уравнение называетсяуравнением с частными производными первого порядкав отличие от уравненийс частными производными высших порядков.Если некоторые функцииa1= y/x, a2= z/x......am-1= t/xудовлетворяют все уравнениюx(da/dx) + y(da/dy) + z(da/dz)+........ +t(da/dt)= 0 и если положими=xn.П(a1,а2.....аm-1)... (2) то легко заметить, что какова бы ни была функцияПотm—1аргументовa1,a2....am-1, заданное уравнение (1) удовлетворится выражением (2), в которое входит совершенно произвольная функцияП.В этом состоит известная теорема Эйлера об однородных функциях. Для примера возьмем уравнение колебания струныd2и/dy2-a2(d2u/dx2)= 0; легко проверить, что этому уравнению удовлетворяет следующая функция оти:и=П(х+ау) + Ф(х—ay)гдеПиФсовершенно произвольные функции. Что касается теории уравнений с частными производными, то благодаря трудам Коши, Якоби и их последователей довольно обстоятельно разобраны уравнения первого порядка. Теория же уравнений высших порядков в настоящее время находится еще в зачаточном состоянии. Известно весьма мало общих свойств таких уравнений, и все сводится к разбору уравнений частного вида (отдельные примеры); впрочем, для математической физики весьма важно и то, что уравнения линейные относительно частных производных какого угодно порядка с постоянными коэффициентами интегрируются, как это показал Коши, при помощи интегралов Фурье. Геометрическое значение И. обыкновенных дифференциальных уравнений между независимой переменнойхи ее функциейусостоит в том, что отыскиваются все кривыеF(x),обладающие некоторым общим свойством, выражаемым заданным дифференциальным уравнением. Отсюда ясно, что в уравнения искомых кривых должны входить произвольные постоянные, выбором которых можно отличить одну из кривых от всех прочих, принадлежащих к рассматриваемой системе. Аналогичное значение имеют для пространства дифференциальные уравнения с частными производными между независимыми переменнымихиуи их искомой функциейz.Интегрировать такое уравнение значит найти все поверхности, обладающие общим свойством, выражаемым заданным уравнением. При интегрировании таких уравнений, понятно, должны входить произвольные функции, ибо из числа различных поверхностей можно выбирать не только такие, которые проходили бы через конечное число произвольно заданных точек пространства, но и такие, которые проходили бы через произвольно заданные кривые в пространстве. — Хотя задача интегрирования дифференциальных уравнений есть задача весьма трудная и удается лишь для малого числа простейших классов уравнений, тем не менее, интегральное исчисление является могущественным орудием натуральной философии, потому что строка Тейлора дает возможность разлагать решение дифференциального уравнения в ряды, расположенные по степеням независимого переменного, и получать таким образом приближенное значение искомых функций независимо от того, умеем ли мы интегрировать заданное дифференциальное уравнение или нет. Блестящие примеры такого рода приближенного И. представляет небесная механика, где при рассмотрении движений небесных тел, притягивающихся между собой по законам Ньютона, уже в случае трех тел (Солнце, Земля и Луна или Солнце, комета и возмущающая планета) является знаменитаязадача о трех телах,которая до сих пор представляет непреодолимые затруднения, быть может, по существу, а может быть, только по сравнительной сложности относящихся сюда дифференциальных уравнений. Нечего говорить уже о задаче более общей, когда рассматривается движение более чем трех тел и которая имеет, однако, место в астрономии. Предсказание небесных явлений, открытие новых светил при помощи теоретических исследований (открытие Нептуна), обстоятельное разъяснение различных особенностей в движении их (неравенства) — все это свидетельствует о том, что если приемы приближенного И. дифференциальных уравнений и далеки от желательной степени теоретического совершенства и представляют в настоящее время область, где еще многое нужно сделать, однако интегрирование уравнений, по крайней мере в приложениях к физическим наукам, представляет часть математики, наиболее важную и богатую новыми результатами.Д. Граве.


  1. интегрирование дифференциальных уравнений—определение и разделение на категории см. Дифференциальные уравнения общий вид обыкновенного дифференциального уравненияem с одной независимой переменной хem и с одной ...Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона