Энциклопедический словарь

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Вариационное исчисление — История происхождения В. исчисления следующая: в конце XVII и начале XVIII столетия многие знаменитые геометры, как, например, Ньютон, Иоанн и Яков Бернулли, Лейбниц, Маклорен и др., обратили внимание на особый род математических вопросов, в которых требовалось определить вид кривой линии или поверхности при условии, чтобы некоторая величина, зависящая от вида кривой или поверхности, была наибольшая или наименьшая. Впервые встречается подобный вопрос в книге Ньютона: "Philosophiae naturalis principia mathematica", а именно вопрос о форме поверхности тела вращения, испытывающего наименьшее сопротивление движению со стороны окружающей его среды. Другой вопрос того же рода — вопрос о видебрахистохроны, предложенный Иоанном Бернулли (брахистохроной для какой-либо силы называют кривую, по которой материальная точка, подверженная этой силе, переходит в наивозможно краткое время из одной данной точки в другую). По мере накопления подобных вопросов выяснилась необходимость изыскать общий метод для их решения. Такой метод создан Эйлером ("Меthod u s inveniendi lineas curvas maximi vel minimi proprietate gaudentes..." 1744) после 16-летних изысканий над решениями разнообразных вопросов этого рода, и усовершенствован Лагранжем (см. "Th é orie des Fonctions analytiques" и "Le çons sur le Calcul des Foncti ons"). Метод этот есть метод вариаций и назван Лагранжем вариационным исчислением (Calcul des variations). Простейшие вопросы В. исчисления заключаются в следующем: требуется найти такую функцию отx, которая, будучи подставлена вместоув данную функциюFотх,у,dy/dx,d2y/dx2..., дала бы интегралу наибольшую или наименьшую величину, при предположении, чтох1иx2, а также и соответствующие иму1иу2имеют данные постоянные значения. Например, требуется найти кратчайшую кривую на плоскости между двумя данными точками. В этом случае интеграл, который должен получить наименьшее значение, будет гдеx1иx2суть абциссы данных точек. Другой пример: требуется провести такую кривуюy = f(x) между двумя точками (х1,у1)и (x2,y2) на плоскости, чтобы поверхность, образуемая этою кривою при вращении плоскости вокруг осиX-ов, была наименьшею. В этом случае интеграл, долженствующий получить наименьшее значение, будет: Метод решения подобных вопросов мы вкратце здесь изложим, главным образом для того, чтобы объяснить смысл слов:вариацияивариирование. Предположим, что искомая функцияf(x) найдена и что проведена кривая линияy = f(x), делающая интегралSнаибольшим или наименьшим. В функцииf(x), кромеxзаключается один или несколькопараметров, в качестве коэффициентов, оснований степеней, показателей и проч. Изменяя непрерывным образом величины этих параметров, мы получим другие кривые, отличающиеся видом и положением от искомой нами. При изменении параметров на бесконечно малые величины получим кривые, бесконечно близкие к рассматриваемой. Подвариациейотуподразумевается разность между ординатою бесконечно близкой кривой и ординатою рассматриваемой кривой при той же абциссе. Следовательно, вариация ординатыуесть приращение (положительное или отрицательное), получаемое этою ординатою при переходе от рассматриваемой кривой к кривой бесконечно близкой; это приращение обозначается через δу. Выше было сказано, что бесконечно близкая кривая получается через бесконсчно малое изменение параметров. Пусть параметрыf(x) суть α,β,γ; бесконечно малые приращения их означим через δα,δβ,δγ.Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго и высших порядков, можем выразить δутак: δy =[df(x)/dα ] δα+[df(x)/dβ ] δβ+[df(x)/dγ ] δγ.Следовательно, варьирование ординатыу, илиf(х) может быть рассматриваемо как дифференцирование по параметрам кривой. При варьированииf(х) производныеу‘,y"… от функции поxтакже получают бесконечно малые приращения, которые мы обозначим так: δу‘,δy",…Эти вариации производных можно представить так, например, δу‘: δy‘ =(ddy/dαdx) δα+(ddy/dβdx) δβ+(ddy/dγdx) δγ а так как изменения параметров совершенно не зависят от изменений абциссx,то можно переменить порядок действий получения производных поxи по параметрам; самые приращения δα,δβ,δγ отxне зависят, а потому: δy‘ = d/dx[(dy/dα) δα+(dy/dβ) δβ+(dy/dγ) δγ ]= dδy/dx(A).Точно так же можно показать, что: δy" = d2δy/dx2,…(A1)и т. д. При варьированииу, функцияF(x,y,у‘,у",...)получает приращение, равное: ΔF = F(x,y +δy,y‘ +δy‘,…)— F(x,y,y‘,…).Это приращение может быть представлено в виде ряда, расположенного по возрастающим степеням вариаций δy,δy‘,δy".Вариацией первого порядка функцииFназывается та часть этого приращения, которая заключает сумму членов с первыми степенями вариаций δу,δy‘,δy"… Эта вариация первого порядка отFобозначается также знаком δ, так что δF =(dF/dy) δy +(dF/dy‘) δy‘ +(dF/dy") δy" +… Удвоенную сумму тех членов приращенияF, которые заключают вторые степени и произведения вариаций δу,δу,δу"… по две, называют вариацией второго порядка от функцииFи обозначают ее так: δ2F.Если составить выражение приращения, получаемого интегралом (S), при варьировании ординатыу, то найдем, что оно равняется интегралу от ΔFи поэтому может быть представлено в виде суммы членов различного порядка малости. Сумма членов первого порядка малости образует вариацию первого порядка интегралаS: Удвоенная сумма членов второго порядка малости образует вариацию второго порядка: Составленное выражение δSможет быть преобразовано таким образом, что оно будет заключать только δу, но не будет заключать вариаций от производных. На основании равенства (А),(А1) и прочих дальнейших равенств того же рода, каждая из этих вариаций равняется соответственной производной поxот δу. Вследствие этого, помощью интегрирований по частям и приняв во внимание, что δу1=0 и δу2=0 (так какy1иу2имеют данные постоянные значения), получим: где (F)= dF/dy — d/dx(dF/dy‘)+ d2/dx2(dF/dy") Для того, чтобы интегралSбыл наибольшим или наименьшим, необходимо, чтобы δSбыла равна нулю, какою бы функцией отxни была δу; а это вследствие разнообразия и произвольности вариаций δувозможно только тогда, когда (F)=0.Этому-то дифференциальному уравнению и должна удовлетворять функцияу=f(x), делающаяSнаибольшим или наименьшим. Так, например, функция, делающая интеграл (1) наибольшим или наименьшим, должна удовлетворять дифференциальному уравнению: из которого следует, чтоу‘=Сиу=Сх + С1,гдеСиC1— постоянные. Как и следовало ожидать, искомая линия — прямая. Кривая, делающая интеграл (2) наибольшим или наименьшим, окажется цепною линией. С надлежащими изменениями и дополнениями метод этот применяется и к тем случаям, когда не задаются точки, между которыми должна быть проведена кривая, а также и к тем случаям, когда ищется кривая, делающая интегралSнаибольшим или наименьшим, и вместе с тем делающая другой интеграл равным данной величине; последние вопросы принадлежат к роду вопросов об относительных maxima и minima. Затем этот метод распространяется и на вопросы более высшего рода, в которых требуется определение вида поверхностей, делающих наибольшим или наименьшим двойной интеграл данного вида и далее. В числе геометров, усовершенствовавших метод варьирования в применении к нахождению maxima и minima кратных интегралов, были: Гаусс ("Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii", "Gesammelte Werke" Bd. V); Пуассон (в "M émoires de l‘Acadé mie des Sciences", vol. 12, 1833) — в применении к двойным интегралам; Остроградский ("M é moire sur le calcul des variations des integrales multiples", в "Mem. de l‘Acad. des Sciences de S-P é tersb." 1838; "Crelle‘s Journal", vol. XV), давший изящное выражение вариации многократного интеграла; Якоби ("Zur Theorie der Variations-rechnung und der Differentialgleichungen", в "Gesam. Werke", т. IV), положивший основание метода определения знака вариации второго порядка однократного интеграла. Достаточно полным руководством вариационного исчисления может служить: "Calcul des Variations р. Moigno et Lindel ö f" (1861, четвертый том "Le ç ons de Calcul differentiel et integral p. Moigno"). История вариац. исчисления, начиная с Лагранжа и до 1860 г., изложена в книге Todhunter: "A History of the Progress of the Calculus of Variations during the nineteenth Century", 1861. О применении В. исчисления к механике см. статьи: Дифференциальные уравнения движения, Действие (начало наименьшего действия), Начало Гамильтона.Д. Бобылев.


  1. вариационное исчисление—математическая дисциплина посвященная отысканию экстремальных наибольших и наименьших значений функционалов переменных величин зависящих от выбора одной или нескольких ф...Большая Советская энциклопедия II
  2. вариационное исчисление—от лат. variatio изменение раздел математики посвящнный нахождению наибольших и наименьших значений функционале в перем. величин зависящих от выбора одной или неск. фци...Большой энциклопедический политехнический словарь
  3. вариационное исчисление—раздел математики посвященный нахождениюнаибольших и наименьших значений переменных величин зависящих от выбораодной или нескольких функций такие величины называются функ...Большой энциклопедический словарь II
  4. вариационное исчисление—ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ раздел математики посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин зависящих от выбора одной или нескольких функций таки...Большой энциклопедический словарь III
  5. вариационное исчисление—ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ раздел математики посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин зависящих от выбора одной или нескольких функций так...Большой Энциклопедический словарь V
  6. вариационное исчисление—раздел мате матики посв. нахождению наиб. и наим. значений перем. величин зависящих от выбора одной или неск. функций такие величины наз. функционалами. К числу задач В. ...Естествознание. Энциклопедический словарь
  7. вариационное исчисление—численные методы раздел вычислительной математики посвященный методам отыскания экстремальных значений функционалов. Численные методы В. и. принято разделять на два бол...Математическая энциклопедия
  8. вариационное исчисление—раздел мате.матики посвященный исследованию методов отыскания экстремумов функционалов зависящих от выбора одной или нескольких функций при разного рода ограничениях фазо...Математическая энциклопедия
  9. вариационное исчисление—вариациялы есептеу...Мұнай-газ терминдерінің орысша-қазақша сөздігі
  10. вариационное исчисление—calcul des variations...Политехнический русско-французский словарь
  11. вариационное исчисление—calcul des variations...Политехнический русско-французский словарь
  12. вариационное исчисление—варацйне обчислення....Російсько-український словник сталих словосполучень
  13. вариационное исчисление—calculus of variations...Русско-английский машиностроительный словарь
  14. вариационное исчисление—variational calculation calculus of variations variational calculus...Русско-английский политехнический словарь
  15. вариационное исчисление—calculus of variations...Русско-английский словарь по физике
  16. вариационное исчисление—ampLTmath.ampGT calculus of variations...Русско-английский технический словарь
  17. вариационное исчисление—варыяцыйнае злчэнне...Русско-белорусский математический словарь
  18. вариационное исчисление—calcolo delle variazioni...Русско-итальянский политехнический словарь
  19. вариационное исчисление—Variationsrechnung...Русско-немецкий политехнический словарь
  20. вариационное исчисление—Variationsrechnung...Русско-немецкий экономический словарь
  21. вариационное исчисление—varian poet...Русско-чешский словарь
  22. вариационное исчисление—ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ математическая наука имеющая целью исследование изменений происходящих в функции если переменные входящие в состав е получат некоторое приращение....Словарь иностранных слов русского языка
  23. вариационное исчисление—ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ раздел математики посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин зависящих от выбора одной или нескольких функций таки...Современный энциклопедический словарь
  24. вариационное исчисление—ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ раздел математики посвященный нахождению наибольших и наименьших значений переменных величин зависящих от выбора одной или нескольких функций так...Энциклопедический словарь естествознания
  25. вариационное исчисление—История происхождения В. исчисления следующая в конце XVII и начале XVIII ст. многие знаменитые геометры как напр. Ньютон Иоанн и Яков Бернулли Лейбниц Маклорен и др. обр...Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
  26. вариационное исчисление—ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕраздел математики занимающийся решением задач связанных с отысканием экстремальных значений одной из таких задач является нахождение кривой обращаю...Энциклопедия Кольера II