Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

МНИМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

результаты, происходящие от извлечения из отрицательных количеств такого корня, показатель которого есть четное число. Мнимые величины встречаются в математике при решении многих вопросов. Корнем, как известно, называется величина, которая при возвышении в степень, равную показателю корня, дает количество, из которого извлекается корень. Между тем, и всякое положительное, и всякое отрицательное количество при возведении его в четную степень дает количество положительное. Следовательно, не существует такого положительного или отрицательного количества, которое при возвышении в четную степень дало бы количество отрицательное; другими словами: нет такого положительного или отрицательного количества, которое равнялось бымнимому.Поэтому старинные математики думали, что мнимое количество не имеет никакого смысла; сначала совершенно не пользовались им, потом стали смотреть на мнимый результат как на указание неправильной постановки вопроса или на ответ, равносильный отрицанию; однако пользовались им для общности выражения теорем, например для того, чтобы иметь возможность утверждать, что уравнениеm-й степени имеетткорней (решений). Между тем, указанная выше причина еще недостаточна для признания М. величины за не имеющую смысла. Было время, когда признавались бессмысленными дробные величины, как результат деления меньшего числа на большее, отрицательные — как происходящие от вычитания большего числа из меньшего, каковое вычитание и доныне провозглашается невозможным на страницах некоторых арифметик. Между тем, отрицательные и дробные величины в настоящее время нашли широкое применение не только среди ученых, но и в обыденной жизни. Хотя при делении меньшего числа на большее получается число, не находящееся в ряду целых чисел, однако это не мешает признать его за число особого рода, придать ему значение совокупности частей единицы и принимать его за лишенное смысла только в задачах, не допускающих других решений, кроме целых. Точно так же отрицательные величины являются величинами особого рода, не встречающимися в ряду целых и дробных положительных величин и, между тем, получающими вполне реальное значение в смысле долга, направления в противоположную сторону и проч.К особому же роду относятся несоизмеримые величины, хотя и не встречающиеся в ряду величин первых трех родов, но настолько же реальные, насколько реально отношение диагонали квадрата к его стороне. Совершенно то же можно сказать и о мнимых величинах: если они и не встречаются в ряду положительных и отрицательных величин, то этим обстоятельством мы оказываемся вынужденными только признать их величинами особого (пятого) рода и затем найти не противоречащий логике способ их реального представления.
Такой взгляд на мнимые величины, как на способные иметь вполне реальный смысл, установился только благодаря трудам Коши и Гаусса в первой половине XIX столетия. Привлечением же мнимых величин на арену математического анализа последний обогатился в высшей степени, потому что количество мнимых величин в столько же раз более количествадействительных(не мнимых), во сколько число точек плоскости более числа точек прямой. Как за отрицательными величинами можно признать разные реальные значения, каковы долг, противоположное положительному направление, замедление (отрицательное ускорение), точно так же и мнимые величины поддаются разнообразным реальным представлениям. Прежде чем ознакомиться хотя бы с одним из них, необходимо иметь в виду, что всякая мнимая величина может быть приведена к виду:
x+y√(—1)
где x иувеличиныдействительные.Поэтому все сводится к уяснению значения величины √(—1). Припомним сперва, какое реальное значение имеет величина (—1) в том случае, когда противоположные направления принимаются одно за положительное, а другое за отрицательное. В этом случае величина (—1) имеет значение поворачивающего множителя, потому что умножение на (—1) равносильно повороту на 180°. Действительно, еслиАиВсуть точки, находящиеся на прямойBOAпо обе стороны точкиОв равных от нее расстояниях, то по условиюОВ= —ОА= (—1)ОА.
Итак,ОАпереходит вОВот умножения на (—1), ноОАможно перевести вОВ, повернув околоОна 180°. Величине √(—1) можно приписать тоже значение поворачивающего множителя, только с тою разницею, что умножение на √(—1) равносильно повороту не на 180°, а на 90°. Действительно, с одной стороны, благодаря существованию тождества:
[√(—1)]∙[√(—1)] = —1
двукратное умножение отрезкаОАна √(—1) равносильно умножению его на (—1). С другой стороны, двукратный поворот отрезкаОАоколо точкиОна 90° поворачиваетОАна 180° и, следовательно, тоже равносилен умножениюОАна (—1). Следовательно, признание величины √(—1) за множитель, поворачивающий на 90°, не противоречит признанию одного направления за положительное, а противоположного ему за отрицательное. Величинаx+y√(—1) называется комплексною. Геометрическое представление такой величины получается следующим образом. Принимаютxиуза прямоугольные координаты некоторой точки. Тогда каждой комплексной величине будет соответствовать на плоскости (x, у)мнимого переменноготочка. Расстояние каждой такой точки от начала координат будет равно √(х2+у2) и называетсямодулемкомплексной величины. Когдау=О, то имеем дело с точками, расположенными по оси абсцисс; комплексная же величина, утратив приу=Освою мнимую часть, обращается вх, то есть в действительную величину, так что действительная величина может быть рассматриваема как частный случай комплексной и весь ряд действительных величин изображается на плоскости мнимого переменного точками, лежащими на осих. Прих=Окомплексная величинаx+y√(—1) обращается ву√(—1). Такую величину называютчистою мнимою.Особенно сподручным геометрическое представление мнимых величин оказывается, если перейти по известным формулам:
х=r∙cosφ
у=r∙sinφ
от прямоугольных координат к полярным (см. Координаты), тогда
x+y√(—1) =r[cosφ + sinφ√(—1)]
Здесьr= √(х2+у2) естьмодуль,а угол φ называетсяаргументом.
Функции мнимого переменного.В настоящее время благодаря работам Коши, Гаусса, Пюизё, Римана и многих других выдающихся математиков самое основное математическое понятие о функции получило особое освещение вследствие распространения этого понятия на мнимые переменные. Если независимое переменноеzпредставляет собою комплексную величину, так что:
z=x+y√(—1),
то функциею мнимого переменногоzназывается всякое выражение, содержащееxиутолько в комбинации [х+у√(—1)]. Так, например, величины
[х+у√(—1)]3;
[х+у√(—1)]/[A+ (x+y√(—1)]4
суть функции мнимого переменногоz;величины же [xу√(—1)]; (x2+у2) хотя и изменяются с изменениемхиу, но не представляют собою функций отz.Всякая функция отzможет быть приведена к видуи+v√(—1), гдеииvсуть действительные функции отхиу:
и=F(x,у)
v= φ(x,у).
Например,z2= [х+у√(—1)]2=x3y2+ 2ху√(—1) =и+у√(—1),
гдеи=Е(х, у) =х2— у2
v= φ(x,у) = 2ху.
Необходимое и достаточное условие, при котором функция W =и+v√(—1) содержитхиутолько в комбинациих+у√(—1), заключается, как это можно доказать, в том чтобы:
du/dx=dv/dy
du/dy=dv/dx
Эти равенства, в свою очередь, показывают, что для всякой функцииW=u+v√(—1) мнимого переменногох+у√(—1) величиныuиvдолжны удовлетворять уравнениюd2λ/dx2+d2λ/dy2= 0,
которое представляет собою частный случай уравнения Лапласа:
d2λ/dx2+d2λ/dy2+d2λ/dz2= 0,
благодаря этому свойству теория функций мнимого переменного легла в основу решения многих вопросов гидродинамики (учения о движении жидкости), потому что движение жидкости подчинено уравнению Лапласа. На этом основан способ исследования плоских течений Кирхгофа, получивший мастерскую обработку и развитие в сочинении Н. Е. Жуковского ("Математ. сборник", т. XV, вып. 1, 1890). Изменения, претерпеваемые функциеюV=и+v√(—1) при изменении М. переменногоz=x+у√(—1) изображаются следующим образом. Переменноеzизображается на плоскости (x,у) так, как это было указано выше, функция жеWизображается на другой плоскости (и, v) в прямоугольных координатахииv. ЕслиWсвязано сzуравнением 1 степени, напр., то каждому значениюzсоответствует одно значениеW— каждой точкеZна плоскости (x,у) соответствует одна точкаWна плоскости (u, v),и каждой кривой, описанной точкоюzв плоскости (x, у), соответствует кривая, описанная точкоюWна плоскости (u, v).Последняя кривая называетсяконформным изображениемпервой. Если жеWсвязано сzквадратным уравнениемW=±√z,то каждому значениюzсоответствует два значенияW
W1= +√zиW2= —√z.
ФункцияWможет быть связана сzтаким уравнением, что данному значениюzсоответствует насколько значенийW.Такая функция называетсямногозначною.Именно в теорию многозначных функций рассмотрение свойств М. переменного вносит яркий свет для объяснения, напр., того, каким образом одно значение переходит в другое, как это случается с ±√zприz=0, когда оба значения, обращаясь в нуль, становятся равными одно другому. Мало того, как увидим ниже, гению Римана при глубоком изучении М. переменного удалось до некоторой степени освободить геометрическое представление многозначных функций от их неудобной многозначности. Те точки плоскости (x,у), в которыхzпринимает такое значение, при котором два какие-либо значения функцийWсливаются, называютсяточками разветвления.Так, напр., для W = +√zточкаx= 0;у= 0, т. е. начало координат есть точка разветвления функции +√z.Сравнивая пути, проходимые переменнымzи его функциеюW,приходят к следующим выводам: 1) если вести переменноеzиз точкиАв точкуВпоследовательно по двум путям, между которыми не имеется точки разветвления, исходя оба раза от одного и того же значения функцииW,то в обоих случаяхWполучит одно и то же значение, когдаzпридет вВ.2) Если же между двумя путями изАвВнаходится точка разветвления, то значения, принимаемые функциеюWс прибытиемzвВ, будут различны, смотря по тому, каким путем двигалосьzизАвВ.3) Еслиzведется по замкнутому контуру из точкиАи после однократного обхода возвращается вА, тоWпринимает новое значение, если внутри контура находится одна точка разветвления, и возвращается к прежнему значению, если внутри контура, обходимого переменнымz,не находится точек разветвления. Введениемэлементарныхконтуров Пюизё привел рассмотрение контуров, вмещающих в себе несколько точек разветвления к контурам, огибающим одну такую точку. Элементарным контуром называется контур, состоящий из прямолинейного пути, идущего от данной точки к точке разветвления, из весьма малой окружности, обходящей эту точку, и из того же прямолинейного пути, проходимого назад, возвращаясь к исходной точке. Путь, проходимый по контуру, вмещающему несколько точек разветвления, начиная от точкиАконтура, может быть заменен без оказания влияния на значенияW,принимаемые ею с возвращениемzвA, путем, состоящим из последовательного ряда обходов элементарных контуров, идущих из точкиАи в нее возвращающихся, так как между первым путем и вторым уже не имеется никаких точек разветвления. На почве такого рода исследований зиждется и знаменитаятеорема Коши очисле корней уравнения в данных пределах. Эта теорема состоит в следующем: если дано уравнениеf(z) = 0, гдеz=х+y√(—1) и пределом, которым мы ограничиваем изменение переменногоz, служит замкнутый контур; если при однократном обходе переменнымzэтого контура отношение величинuиv,связанных сf(z) равенствоми+v√(—1) =f(z), переходитkраз от положительного значения к отрицательному иlраз от отрицательного значения к положительному, то число корней уравненияf(z) = 0,лежащих внутри рассматриваемого контура, равно (1/2)(kl).
Римановы листы.— Риману удалось установить такое геометрическое представление мнимого переменного, при котором даже и для всякой многозначной функцииWвсякой точке, изображающейz, соответствует только одна вполне определенная точка, изображающаяW, и, несмотря на это, изображается переход функцииWот одного ее значения к другому и сохраняется след ее многозначности в каждой данной точке. Положим, например, что мы имеем дело с такою функциеюW, которая имеет три значения:W1, W2иW3, и чтоzимеет такую точку разветвленияа, при обходе которой в направлении, противоположном движению стрелки часов, значениеW1переходит вW2;W2вW3иW3вW1.Переменноеzтакой функции Риман изображает не в одной плоскости, а в трех плоскостях, положенных одна на другую и называемыхлистами;в 1-й плоскости лежат точки, обозначающиеzи соответствующие значениямW1функции; во второй плоскости — точки, соответствующиеW2; в третьей точки соответствующиеW3.Право пользоваться таким представлением основывается на том, что оси координат каждой плоскости лежат строго одна над другой; поэтому если имеем в 1-й плоскости точкуk, во второй точкуlи в третьей точкуm, лежащие одна над другой, то для каждой из них координатыхиубудут одинаковы, вследствие чего всеми этими тремя точками будет изображаться одно и то же значение переменногоzи аналитически по-прежнему три значенияW1, W2иW3будут соответствовать одной и той же величинеz, так что аналитическая многозначность функцииWне нарушается; между тем, геометрически каждой точке, изображающейz,соответствует только одно значение функцииW.Для изображения переходаWот одного значения к другому Риман соединяет все листы в точке разветвленияаи прорезывает все три листа по некоторой прямой, идущей изав одну сторону до бесконечности. Если стать на этом прорезе и смотреть ва, то можно отличить правую сторону прореза от левой. При указанной в нашем примере возможности переходаW1вW2;W2вW3иW3вW1способ Римана требует, чтобы мы представляли себе сшитыми или спаянными: левый край прореза 1-го листа с правым краем 2-го, левый край 2-го с правым 3-го и левый край 3-го с правым 1-го. Теперь благодаря существованию прореза точкаzне может совершить обхода около точки разветвленияа, оставаясь в том же листе; этим и достигается невозможность перемены значенияW1функцииW,покаzостается в том же листе. Чтобы обойти точку разветвления, начав двигаться по контуру, лежащему в 1-м листе,z, дойдя до прореза, может благодаря спайке 1-го листа со вторым перейти во второй лист, при чем функцияWполучит уже значениеW2.Если теперь, продолжая двигатьzпо второму листу, подведем его под ту точку 1-го листа, из которой начался обход, то и увидим, что представление, данное Риманом, соответствует теории, гласящей, что при обходе переменнымzточки разветвления с возвращениемzк прежней величине функцияWполучает другое значение. Для каждой функции строится особое сочетание листов прорезов и спаек. Каждое такое сочетание называетсяповерхностью Римана,изображающею данную функцию.
Интегралы от функции мнимого переменного.При действительном переменномхинтеграл определяется как предел суммы:
(x1— x0)f(x0) + (x2— x1)f(x1) +... (х — хп)f(xn),достигаемый ею при увеличенииnдо бесконечности, вследствие чего отрезки
x1— x0, x2— x1,...х — хп
становятся бесконечно малыми. Здесьx0, x1...xnсуть абсциссы точек, ограничивающих отрезкиx1— x0, x2— x1,... Сумма этих отрезков равна отрезкухx0.Все точки, определяемые абсциссамиx0, x1..., лежат на осих-ов. В случае мнимого переменногоzинтегралом называется тоже предел суммы
(z1— z0)f(z0) + (z2— z1)f(z1) +... (z — zп)f(zn),
но здесь уже точки z0, z1,z2... лежат не на осиx-ов, а на любом контуре, называемомпутем интегрирования,и интеграл зависит от того, по какому пути он берется. При том основными теоремами теории служат следующие: 1) если внутри пути интегрирования функцияf(z) конечна и непрерывна, то
2) Если внутри пути интегрированияf(z) не имеет точек разветвления и претерпевает перерыв только в одной точкеz=а,при чем
Теория мнимого переменного исследует вопрос омногосвязностипространств, весьма важный в гидродинамике. Пространство, в котором любой замкнутый контур может быть сведен в точку непрерывным перемещением и видоизменением назыв.односвязным.Например пространство, остающееся между шаром и поверхностью концентрической с ним сферы,односвязно;пространство же, находящееся в толще кольца, не односвязно. Всякое многосвязное пространство может быть преобразовано в односвязное построением перегородок, сквозь которые не допускается проведение контуров. Проводя перегородку в кольцевой трубке, превратим ее водносвязноепространство. Пространство называетсяn связным,если оно обращается в односвязное установлением (n— 1) перегородок.
История.Впервые М. величины упоминаются Карданом в его "Artis magnae sive de regulis Algebrae liber unus", 1545 г. Названиеневозможных M.применяется к этого рода величинам Валлисом в его алгебре, напечатанной в 1673 г. Мало-помалу математики начали пользоваться в видах обобщения теорем М. величинами; в особенности часто к ним прибегали Муавр, Иоанн Бернулли, Факьяно, д'Аламбер и Эйлер. Первые попытки найти геометрическое представление М. величин принадлежат Кюну, изложившему свои исследования в "Novi commentarii Academ. Petropolit." за 1750 и 1751 гг. Еще в конце прошлого столетия мнения математиков разделялись относительно того, следует ли полагать √(—a)√(—b) = √(ab), как это и необходимо, или же √(—a)√(—b) = √(—ab), как это заключали из необоснованного предположения, будто произведение М. величин может быть только мнимым. Гаусс в своей "Theoria residuorum biquadraticorum", появившейся в 1828—1832 гг., показывает, что всякая мнимая величина приводится к видуn+m√(—1). Гауссу же принадлежит введение названиякомплексной величиныи обстоятельные исследования такого рода величин. Настоящим основателем теории мнимого переменного следует признать Коши, который, однако, в своих "Exercices" 1844 г. не придавал реального значения М. величинам. Наконец, в 1851 г. появилась диссертация Римана (Riemann) "Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen Grösse", составившая эпоху в развитии теории функций. Затем благодаря тесной связи с теориею эллиптических функций, которою так усиленно занимались математики последних 30 лет, и благодаря трудам таких геометров как Вейерштрасс, Эрмит, Клебш, Клейн и др., теория М. переменного легла в основание новой математики; ее развитием именно и характеризуется новое направление, в котором за короткое время достигнуто множество самых блестящих результатов. Лучшими руководствами для ознакомления с теориею М. переменного могут служить: Durège, "Elemente der Theorie der Functionen einer complexen veränderlichen Grösse" (Лпц., 1864); Hoüel, "Cours de calcul infiuitésimal"; Hermite, "Cours d'Analyse"; Picard, "Traité d'Analyse" (1893).
Н. Д.

  1. мнимые величиныМнимые величины результаты происходящие от извлечения из отрицательных количеств такого корня показатель которого есть четное число. Мнимые величины встречаются в матема...Энциклопедический словарь