А.-гармоническая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и h ( a. Составим их арифметическую среднюю a1и гармоническую среднюю h1, т. е. найдем a1= 1/2(a+h) и h1= 2ah/(a+h); таким же образом составим а2= 1/2(a1+h1) и h2= 2a1h1/(a1+h1) и т. д. Числа a, a1, a2… и h, h1, h2… будут представлять — первые убывающий ряд, вторые — возрастающий. Все числа первого ряда больше всех чисел второго, и оба ряда стремятся к одному и тому же пределу, который и есть А.-г. средняя. Означим ее АН. Покажем, что АН. двух чисел равно геометрической средней их.В самом деле, h1= 2ah/(a + h) = ah/a1, след. а1h1= ah; точно так же a2h2= a1h1= ah, что треб. док., наконец, anhn= h. Но а∞= h∞= b2, если b есть АН между а и h; итак, b = √ah, ч. треб. док. Следствие: AH из какого-нибудь числа и единицы есть квадратный корень из этого числа, т. е. АН (а, 1) = √а. Итак, чтобы найти √a, можно поступить следующим образом: найти арифметическую среднюю a1из а и 1 и гармоническую среднюю h1из а и 1; затем арифметическую среднюю a2из a1и h1и гармоническую среднюю h2из a1и h1и т. д., числа аiи hiбудут быстро сходиться и стремиться к пределу = √а. Прим.
------------------------------------------------------------------------------
|| а1= 1.5000000 | h1= 1.3333333 |
||------------------------------------------------------|
|| а2= 1.4166666 | h2= 1.4117647 |
| а = 2, h = 1|------------------------------------------------------|
|| а3= 1.4142157 | h3= 1.4142114 |
||------------------------------------------------------|
|| а4= 1.4142136 | h4= 1.4142136, |
------------------------------------------------------------------------------
итак, √2 = 1.4142186, что и требовалось доказать.