ЛОГИКА

(греч. logike̅́)

наука о приемлемых способах рассуждения. Слово «Л.» в его современном употреблении многозначно, хотя и не столь богато смысловыми оттенками, как древнегреч. lógos, от которого оно происходит. В духе традиции с понятием Л. связываются три основных аспекта: онтологический — «Л. вещей», т. е. необходимая связь явлений объективного мира (Демокрит);гносеологический — «Л. знания», т. е. необходимая связь понятий, посредством которой познаётся «сущность и истина» (Платон),и демонстративный (доказательный), или собственно логический, — «Л. доказательств и опровержений», т. е. необходимая связь суждений (высказываний) в рассуждениях (умозаключениях), принудительная убедительность («общезначимость») которых вытекает только из формы этой связи безотносительно к тому, выражают эти суждения «сущность и истину» или нет (Аристотель). Первые два аспекта относятся к философии (См. Философия) и диалектической логике (См. Диалектическая логика), последний же аспект составляет собственно логику, или современную Л. (которую вслед за И. Кантоминогда называют формальной Л.).

Исторически предмет (собственно) Л. ограничивался своего рода «каталогизацией» правильных аргументов, т. е. таких способов рассуждений, которые позволяли бы из истинных суждений-посылок всегда получать истинные суждения-заключения. Известным со времён античности набором таких аргументов однозначно определялся процесс дедукции (См. Дедукция),характерный для т.н. традиционной Л., ядро которой составляла Силлогистика,созданная Аристотелем. По мере изучения особенностей демонстративного мышления предмет традиционной Л. постепенно расширялся за счёт несиллогистических, хотя и дедуктивных способов рассуждений, а также за счёт индукции (См. Индукция). Поскольку последняя выпадала из рамок Л. как дедуктивной теории (или совокупности таких теорий), она в конце концов сделалась предметом особой теории, названной индуктивной Л.

Современная Л. является историческим преемником традиционной Л. и в некотором смысле её прямым продолжением. Но в отличие от традиционной, для современной Л. характерно построение различного рода формализованных теорий логического рассуждения — т. н. логических «формализмов», или логических исчислений (См. Логическое исчисление),позволяющих сделать логические рассуждения предметом строгого анализа и тем самым полнее описать их свойства (см. раздел Предмет и метод современной логики). Отображение логического мышления в логических исчислениях привело к более адекватному выражению идеи «логоса» как единства языка и мышления, чем это было в эпоху античности и во все эпохи, предшествовавшие 20 в.; в современной Л. это выражение столь очевидно, что, исходя из различных «формализмов», приходится порой говорить о различных «стилях логического мышления».

М. М. Новосёлов.

История логики.Историческую основу современной Л. образуют две теории дедукции, созданные в 4 в. до н. э. древнегреческими мыслителями: одна — Аристотелем, другая — его современниками и философскими противниками, диалектиками мегарской школы (См. Мегарская школа). Преследуя одну цель — найти «общезначимые» законы логоса, о которых говорил Платон, они, столкнувшись, как бы поменяли исходные пути к этой цели. Известно, что основатель мегарской философской школы Евклид из Мегары широко использовал не только доказательства от противного (См. Доказательство от противного),но и аргументы, по форме близкие к силлогическим, и таковы многие дошедшие до нас Софизмы мегариков. В свою очередь, Аристотель в сочинении «Топика» в качестве доказывающего сформулировал основное правило исчисления высказываний — правило «отделения заключения» (разрешающее при истинности высказываний «если А, то В» и «А» как истинное заключение «отделить» высказывание «В»). И если затем он оставил в стороне Л. высказываний, то в этом «повинны» в немалой степени софизмы мегариков, которые привели Аристотеля к поискам логических элементов речи в элементарной сё единице — предложении. Именно на этом пути он ввёл понятие высказывания как истинной или ложной речи, открыл, в отличие от грамматической, атрибутивную форму речи — как утверждения или отрицания «чего-либо о чём-то», определил «простое» высказывание как атрибутивное отношение двух терминов, открыл изоморфизм атрибутивных и объёмных отношений, аксиому и правила Силлогизма. Аристотель создал весьма ограниченную по своим возможностям, но зато законченную теорию — силлогистику, реализующую в рамках Л. классов идею алгорифмизации вывода заключений. Аристотелевская силлогистика положила конец «силлогистике» мегариков, последним представителем которой был Евбулид из Милета, писавший против Аристотеля, автор известных Парадоксов «лжец», «лысый», «куча» и нескольких софизмов. Др. последователи Евклида обратились к анализу условных высказываний, считая, что заключения «о присущем», выражаемые фигурами силлогизма, нуждаются в более общей основе. Диодор Крон из Иаса и его ученик Филон из Мегары ввели понятие импликации и изучали связь импликации и отношения следования, предвосхитив идею теоремы о дедукции. Соглашаясь в том, что условное высказывание — импликация — истинно, когда заключение следует из посылки, они расходились, однако, в толковании понятия «следует». Согласно Диодору, В следует из А, когда импликация А ⊃ В («если А, то В») необходима, так что нельзя утверждать в зависимости от случая, что иной раз она истинна, а иной раз нет, если А и В одни и те же высказывания. Филон же полагал, что понятие «В следует из А» полностью определяется понятием материальной импликации, которую он ввёл, дав свод её истинностных значений. Так возникла теория критериев логического следования, впоследствии сделавшаяся частью учения стоиков. Неизвестно, обсуждался ли в мегарской школе вопрос об аксиоматизации Л., но Диоген Лаэрций свидетельствует, что Клитомах из школы Евклида был первым, кто написал не дошедший до нас трактат об аксиомах и предикатах.

Логические идеи мегариков были ассимилированы в философской школе стоиков, основанной около 300 до н. э. Гл. фигурой этой школы был Хрисипп, принявший критерий Филона для импликации и Двузначности принцип как онтологическую предпосылку Л. В сочинениях стоиков Л. высказываний предшествует аристотелевской силлогистике, оформляясь в систему правил построения и правил вывода высказываний. Последние по примеру Аристотеля тоже называются силлогизмами. Идея дедукции формулируется более четко, чем у мегариков, в виде след. предписания: условием формальной правильности заключения В из посылок А₁, А₂,..., A_nявляется истинность импликации (A₁& A₂&... & A_n) ⊃ В. Аргументы, основанные на понимании высказываний только как функций истинности, стоики называли формальными; они могут вести от ложных посылок к истинным следствиям. Если же во внимание принималась содержательная истинность посылок, формальные аргументы назывались истинными. Если посылки и заключения в истинных аргументах относились соответственно как причины и следствия, аргументы называются доказывающими. В общем случае «доказывающие аргументы» стоиков предполагали понятие о естественных законах. Стоики считали их аналитическими и возможность их доказательства посредством аналогии и индукции отрицали. Т. о., развитое стоиками учение о доказательстве шло за пределы Л. в область теории познания, и именно здесь «дедуктивизм» стоиков нашёл себе философского противника в лице радикального эмпиризма школы Эпикура — последней наиболее важной для истории Л. школы античности. В споре со стоиками эпикурейцы защищали опыт, аналогию (См. Аналогия),индукцию. Они положили начало индуктивной Л., указав, в частности, на роль противоречащего примера в проблеме обоснования индукции и сформулировав ряд правил индуктивного обобщения (См. Обобщение).

Эпикурейской «каноникой» заканчивается история логической мысли ранней античности. На смену приходит поздняя античность, эклектически сочетающая аристотелизм и стоицизм. Её вклад в Л. ограничивается по существу переводческой и комментаторской деятельностью поздних перипатетиков (Боэт Сидонский, Александр Эгский, Адраст, Гермин, Александр Афродизийский, Гален и др.) и неоплатоников (Порфирий, Прокл, Симпликий, Марий Викторин, Апулей, Августин, Боэций,Кассиодор и др.). Из нововведений эллино-римских логиков заслуживают внимания логический квадрат Апулея, Дихотомическое делениеи объёмная трактовка терминов силлогизма у Порфирия, идеи аксиоматизации Л. и Л. отношений у Галена,зачатки истории Л. у Секста Эмпирика и Диогена Лаэрция, наконец, подготовившие терминологию средневековой Л. переводы греческих текстов на латинский язык, в частности «Введения» Порфирия Марием Викторином и сочинений Аристотеля, входящих в «Органон», Боэцием. (Именно в логическом словаре Боэция впервые, по-видимому, появляются понятия «субъект», «предикат», «связка», в терминах которых на протяжении многих последующих столетий логики анализировали высказывания.) Под влиянием доктрины стоиков, заимствованной Неоплатонизмом,Л. постепенно сближается с грамматикой. В энциклопедии той эпохи — «Сатириконе» Марциана Капеллы — в качестве одного из семи свободных искусств Л. объявляется необходимым элементом гуманитарного образования.

Логическая мысль раннего европейского средневековья (7—11 вв.), усваивавшего научное наследие античного мира сквозь призму христианского сознания, в творческом отношении значительно беднее эллиноримской. Как самостоятельная наука Л. развивается лишь в странах арабской культуры (См. Арабская культура),где философия остаётся относительно независимой от религии. В Европе же складывается в основном схоластическая Л. в собственном смысле — церковно-школьная дисциплина, приспособившая элементы перипатетической Л. к нуждам обоснования и систематизации христианского вероучения. Лишь в 12—13 вв., после того как все произведения Аристотеля канонизируются церковной ортодоксией, возникает оригинальная средневековая («несхоластическая») Л., известная под назв. logica modernorum. Контуры её намечены уже «Диалектикой» Абеляра,но окончательное оформление она получает к конце 13 — середине 14 вв. в работах Уильяма Шервуда, Петра Испанского, Иоанна Дунса Скота (См. Иоанн Дунс Скот),Вальтера Бурлея (Бёрли), Уильяма Оккама,Жана Буридана и Альберта Саксонского. В сочинениях этих авторов впервые прослеживаются прообраз «универсума речи» и представление о двояком использовании языка: для выражения мысли о внеязыковых фактах, когда термины «употребляются», и для выражения мысли о самом языке, когда термины «упоминаются» (употребляются автонимно). Учение о пропозициональных связках и кванторах, символизирующих характер логической связи, служит им естественным основанием для различения между «формой» и «содержанием» суждений. А в связи с задачей однозначного «прочтения» синтаксической структуры суждения средневековой логики неявно используют и понятие «области действия» логических операций (См. Логическая операция). Их учение о «следовании» основывается на различии между материальной импликацией и формальной, или тавтологичной, импликацией: для первой можно указать контрпример, для второй — нет. Поэтому материальная импликация рассматривается как выражение содержательного, или фактического, следования, а формальная — логического. Средневековые логики открыли многие известные теперь законы Л. высказываний, которая составляла основу их теории дедукции и которая, как и у стоиков, считалась более общей, чем аристотелевская силлогистика. В этот же период впервые зародилась идея машинизации процесса логического вывода и были предприняты первые попытки её реализации (Р. Луллий).

Последующие два столетия — эпоха Возрождения — для дедуктивной Л. были эпохой кризиса. Её воспринимали как опору мыслительных привычек схоластики, как Л. «искусственного мышления», освящающую схематизм умозаключений, в которых посылки устанавливаются авторитетом веры, а не познания. Руководствуясь общим лозунгом эпохи: «вместо абстракций — опыт», дедуктивной Л. стали противопоставлять Л. «естественного мышления», под которой обычно подразумевались интуиция и воображение. Леонардо да Винчи и Ф. Бэкон переоткрывают античную идею индукции и индуктивного метода, выступая с резкой критикой силлогизма. И лишь немногие, подобно падуанцу Я. Дзабарелле (16 в.), пробуют вернуть в методологию научной мысли традиционную логическую дедукцию, предварительно освободив её от схоластической философской интерпретации.

Книги Дзабареллы оказали заметное влияние на положение Л. в 17 в. Уже у Т. Гоббса и П. Гассенди дедуктивная Л. полностью освобождается от связи с теологией и перипатетической философией. Несколько раньше основатель точного естествознания Г. Галилей восстанавливает права абстракции (См. Абстракция). Он обосновывает потребность в абстракциях, которые бы «восполняли» данные опытных наблюдений, и указывает на необходимость введения этих абстракций в систему дедукции в качестве гипотез (См. Индукция),или постулатов, или аксиом, с последующим сравнением результатов дедукции с результатами наблюдений. Критицизм в отношении схоластики и одновременная реабилитация дедукции, правда, при некотором снижении интереса к формальной стороне доказательств, характерны для картезианской, т. е. опирающейся на методологические идеи Р. Декарта,логики, систематически изложенной в сочинении А. Арно и П. Николя «Логика, или Искусство мыслить» (1662), вошедшей в историю под названием логики Пор-Рояля. В этой книге Л. представлена как рабочий инструмент всех др. наук и практики, поскольку она принуждает к строгим формулировкам мысли.

Картезианская идея mathesis universalis стала ведущей в Л. середины 17 — начале 18 вв. Особое место в её развитии принадлежит Г. В. Лейбницу. Вслед за Р. Декартом, Т. Гоббсом и логиками Пор-Рояля Лейбниц считал возможным создать «всеобщую символику», своеобразный искусственный язык, который был бы свободен от многозначностей, присущих естественным разговорным языкам, понимался без словаря и был бы способен точно и однозначно выражать мысли. Такой язык мог бы играть роль вспомогательного международного языка, а также служить орудием открытия новых истин из известных. Анализируя категории Аристотеля, Лейбниц пришёл к идее выделения простейших исходных понятий и суждений, которые могли бы составить «алфавит человеческих мыслей»; эти первичные неопределяемые понятия, скомбинированные по определённым правилам, должны давать все остальные точно определимые понятия. Лейбниц полагал, что одновременно с таким анализом понятий можно создать универсальный алгоритм, который позволит провести доказательство всех известных истин и составить тем самым «доказательную энциклопедию».

С целью реализации этого замысла Лейбниц дал несколько вариантов арифметизации логики. В одном из них каждому исходному понятию сопоставляется простое число, каждому составному — произведение простых чисел, сопоставленных исходным понятиям, образующим данное составное (эта замечательная по своей простоте идея сыграла впоследствии исключительно важную роль в математике и логике благодаря работам Г. Кантора и К. Гёделя (См. Гёдель)).

К Лейбницу же восходят многие методологически важные фрагменты современной Л. Так, большое значение он придавал проблеме тождества (См. Тождество). Принимая схоластический принцип индивидуации (принцип «внутреннего различия»), положенный им в основу монадологии, Лейбниц отказался от онтологизации тождества, определяя тождество через сохраняющую истинность взаимозаменимость в контексте и намечая тем самым путь к построению теорий тождества, основанных на абстракции отождествления.

Хотя Лейбниц непосредственно не занимался индуктивной Л., соответствующая проблематика вполне им учитывалась. В частности, она нашла отражение в проводившемся им различении «истин разума» и «истин факта»; для проверки истин разума, по Лейбницу, достаточно законов аристотелевской Л.; для проверки истин факта, т. е. эмпирических истин, нужен ещё (сформулированный Лейбницем) Достаточного основания принцип. В связи с этим Лейбниц рассматривал поставленную Галилеем проблему подтверждения общих суждений о действительности эмпирическими фактами, явившись тем самым одним из создателей теории т. н. гипотетико-дедуктивного метода.

Исходным пунктом индуктивной Л. нового времени служили методологические идеи Бэкона, но систематически эта логика — Л., исследующая «обобщающие выводы» как заключения, основанные на установлении причинной связи (см. Причинность) между явлениями, — была разработана Дж. С. Миллем (См. Милль) (1843), который опирался, в свою очередь, на идеи Дж. Гершеля (См. Гершель). Развитая Миллем теория индуктивных умозаключений стала предметом разработки и критики как в Л. 19 в., так и в Л. 20 в. (в частности, в работах русских логиков М. И. Каринского и Л. Б. Рутковского и статистика А. А. Чупрова). При этом она была поставлена в связь с проблематикой теории вероятностей, с одной стороны, и алгебры логики (См. Алгебра логики) — с другой (начиная уже с работ У. С. Джевонса). Индуктивная Л. 19 в., центральным вопросом которой был вопрос о способах обоснования эмпирических заключений о закономерных (регулярных) связях явлений, в 20 в., с одной стороны, трансформировалась в вероятностную логику (См. Вероятностная логика),а с другой — вышла за пределы Л. в собственном смысле, приобретя в существенно обогащённом виде новую жизнь в современной математической статистике и теории планирования эксперимента.

Индуктивная Л. не была, однако, главной линией развития логической мысли. Этой линией стало развитие строго дедуктивной — математической — логики, истоки которой были заключены уже в сочинениях Лейбница. Хотя большая часть логического наследия последнего оставалась неопубликованной до начала 20 в., прижизненное распространение его идей оказало заметное влияние на развитие алгебрологических методов в Л., в процессе которого уже в 19 в. в трудах О. де Моргана, Дж. Буля (См. Буль),немецкого математика Э. Шрёдера, П. С. Порецкого (См. Порецкий) и др. путём применения математического (в основном алгебраического) метода к Л. была построена развитая логическая теория алгебраического характера, на основе которой в дальнейшем сформировалась современная алгебра Л.

Центральной фигурой этого «алгебро-логического» этапа в истории Л. был Буль. Он разработал свою алгебру Л. (термин «алгебра логики» был введён после Буля Ч. Пирсом) как обычную для того времени алгебру, а не как дедуктивную систему в позднейшем смысле. Не удивительно, что Буль стремился сохранить в своей алгебре Л. все арифметические операции, в том числе вычитание и деление, которые оказалось трудно истолковать логически. Алгебра логики Буля (интерпретировавшаяся прежде всего как Логика классов,т. е. объёмов понятий) была значительно упрощена и усовершенствована Джевонсом, отказавшимся в Л. от операций вычитания и деления. У Джевонса мы уже встречаем ту алгебраическую систему, которая впоследствии получила название «булевой алгебры» (у самого Буля, использовавшего в своей алгебре операцию, соответствующую исключающему логическому союзу «или», т. е. строгую дизъюнкцию, а не распространённую в современной Л. «обычную», слабую, дизъюнкцию, «булевой алгебры» непосредственно не было). Строгие методы решения логических уравнений были предложены Шрёдером (1877) и Порецким (1884). Многотомные «Лекции по алгебре логики» (1890—1905) Шрёдера (вместе с работами Порецкого вплоть до 1907) явились высшей точкой развития алгебры Л. 19 в.

История алгебры Л. началась с попыток перенести в Л. все операции и законы арифметики, но постепенно логики начинали сомневаться не только в правомерности, но и в целесообразности такого переноса. Они выработали специфические именно для Л. операции и законы. Наряду с алгебраическими в Л. издавна применялись геометрические (точнее, графические) методы. Приёмами представления модусов силлогизмов с помощью геометрических фигур владели античные комментаторы Аристотеля. Использование с этой целью кругов, обычно приписываемое Л. Эйлеру,было известно ещё И. К. Штурму (1661) и Лейбницу, владевшему и отличными от эйлеровых методами. Способы геометрической интерпретации предложений Л. имелись у И. Г. Ламберта и Б. Больцано. Но особенного расцвета эти методы достигли в трудах Дж. Венна,разработавшего графический аппарат диаграмм (см. Логические диаграммы.),фактически полностью эквивалентный Л. классов и носящий уже не только иллюстративный, но и эвристический характер.

К концу 19 в. в дедуктивной Л. произошёл глубокий переворот, связанный с работами Дж. Пеано,Пирса и Г. Фреге, которые преодолели узость чисто алгебраического подхода прежних авторов, осознали значение математической Л. для математиков и начали применять её к вопросам оснований арифметики и теории множеств. Достижения этого периода, в особенности связанные с аксиоматическим построением Л., в наиболее чёткой форме можно проследить в исследованиях Фреге. Начиная со своей работы «Исчисление понятий» (1879), он развил совершенно строгое аксиоматическое построение исчисления высказываний и предикатов. Его формализованная Л. содержала все основные элементы современных логических исчислений: пропозициональные переменные (переменные для высказываний), предметные переменные, Кванторы (для которых он ввёл специальные символы) и Предикаты;он подчёркивал различие между логическими законами (См. Логический закон) и правилами логического вывода, между переменной и константой, различал (не вводя, правда, особых терминов) язык и метаязык (см. Метатеория, Метаязык).Его исследования (так же как аналогичные работы Пирса) в области логической структуры естественного языка и семантики логических исчислений положили начало проблемам логической семантики (См. Логическая семантика). Большой заслугой Фреге явилась разработка системы формализованной арифметики, основанной на развитой им логике предикатов (См. Логика предикатов). Эти работы Фреге и выявившиеся в связи с ними трудности послужили исходным пунктом развития современной теории математического Доказательства.

Фреге употреблял оригинальную символику, которая, в отличие от обычно применяемой одномерной, была двумерной (она не привилась). Современная система обозначений в Л. восходит к символике, предложенной Дж. Пеано. С некоторыми изменениями она была воспринята Б. Расселом,создавшим совместно с А. Н. Уайтхедом трёхтомный труд «Принципы математики» — труд, систематизировавший и развивший далее дедуктивно-аксиоматическое построение Л. в целях логического обоснования математического анализа (см. Логицизм).

С этого сочинения и начавших появляться с 1904 работ Д. Гильберта по математической Л. естественно датировать начало современного этапа логических исследований.

М. М. Новосёлов, 3. А. Кузичева, Б. В. Бирюков.

Предмет и метод современной логики.Современная Л. развилась в точную науку, применяющую математические методы. Она стала, по словам Порецкого, математической логикой — Л. по предмету, математикой по методу. В этом качестве Л. стала пригодной для правильной постановки и решения логических проблем математики, в особенности проблем, связанных с доказуемостью и недоказуемостью тех или иных положений математических теорий. Точная постановка таких проблем требует прежде всего уточнения понятия доказательства. Всякое математическое доказательство состоит в последовательном применении тех или иных логических средств к исходным положениям. Но логические средства не представляют собой чего-то абсолютного, раз навсегда установленного. Они вырабатывались в процессе многовековой человеческой практики; «... практическая деятельность человека миллиарды раз должна была приводить сознание человека к повторению разных логических фигур, дабы эти фигуры могли получить значение аксиом» (Ленин В. И., Полн. собр. соч., 5 изд., т. 29, с. 172). Человеческая практика является, однако, на каждом историческом этапе ограниченной, а объём её всё время растёт. Логические средства, удовлетворительно отражавшие практику человеческого мышления на данном этапе или в данной области, могут оказаться неподходящими на следующем этапе или в другой области. Тогда в зависимости от изменения содержания рассматриваемого предмета изменяется и способ его рассмотрения — изменяются логические средства. Это в особенности относится к математике с её далеко идущими многократными абстракциями. Здесь совершенно бессмысленно говорить о логических средствах как о чём-то данном в своей совокупности, как о чём-то абсолютном. Зато имеет смысл рассмотрение логических средств, применяемых в той или иной конкретной обстановке, встречающейся в математике. Их установление для какой-либо данной математической теории и составляет искомое уточнение понятия доказательства применительно к этой теории. Важность этого уточнения для развития математики выявилась в особенности в связи с проблемами её оснований. Разрабатывая множеств теорию (См. Множеств теория),исследователи столкнулись с рядом своеобразных трудных проблем. Исторически первой из них явилась проблема о мощности континуума, выдвинутая Кантором (1883), к которой до 1939 не было найдено подходов (см. Континуума проблема).Другие проблемы, столь же упорно не поддававшиеся решению, встретились в т. н. дескриптивной теории множеств, успешно разрабатываемой советскими математиками. Постепенно становилось всё более ясно, что трудность этих проблем имеет логическую природу, что эта трудность обусловлена неполной выявленностью применяемых логических средств и что единственным путём к её преодолению является уточнение этих средств. Выяснилось, т. о., что разрешение этих задач требует привлечения новой математической науки — математической логики. Надежды, возлагавшиеся на математическую Л. в связи с этими проблемами, оправдались. В особенности это касается проблемы континуума, которая может считаться полностью решённой благодаря работам К. Гёделя (1939) и П. Коэна (1963). Первый из них доказал совместимость обобщённой континуум-гипотезы Кантора с аксиомами теории множеств в предположении непротиворечивости последних. Второй при том же предположении доказал независимость континуум-гипотезы от аксиом теории множеств, т. е. её недоказуемость. Аналогичные результаты были получены П. С. Новиковым (1951) в отношении ряда проблем дескриптивной теории множеств. Уточнение понятия доказательства в математической теории путём установления допускаемых логических средств является существенным этапом её развития. Теории, прошедшие этот этап, называются дедуктивными теориями. Лишь для них допускают точную формулировку интересующие математиков проблемы доказуемости и непротиворечивости.

Для решения этих проблем в современной Л. применяется метод формализации доказательств — один из основных её методов. Сущность его состоит в следующем.

Формулировки теорем и аксиом развиваемой теории полностью записываются в виде формул, для чего употребляется особая символика, пользующаяся, наряду с обычными математическими знаками, знаками для логических связок, применяемых в математике: «... и...», «... или...», «если..., то...», «неверно, что...», «при всяком...», «существует... такой, что...». Всем логическим средствам, с помощью которых теоремы выводятся из аксиом, ставятся в соответствие правила вывода новых формул из уже выведенных. Эти правила формальны, т. е. таковы, что для проверки правильности их применений нет надобности вникать в смысл формул, к которым они применяются, и формулы, получаемой в результате; надо лишь убедиться, что эти формулы построены из таких-то знаков, так-то расположенных. Доказательство теоремы отображается в выводе выражающей её формулы. Вывод же этот рассматривается как ряд формул, в конце которого стоит формула, подлежащая выводу. В выводе всякая формула либо выражает аксиому, либо получается из одной или нескольких предыдущих формул по одному из правил вывода. Формула считается выводимой, если может быть построен её вывод.

Если сопоставление правил вывода применяемым логическим средствам было произведено надлежащим образом, то получают возможность судить о доказуемости теорем в данной теории по выводимости выражающих их формул. Выяснение выводимости или невыводимости той или иной формулы есть задача, не требующая привлечения далеко идущих абстракций, и решать эту задачу часто бывает возможно сравнительно элементарными методами.

Идея метода формализации доказательств принадлежит Д. Гильберту. Проведение этой идеи стало, однако, возможным благодаря предшествовавшей разработке математической Л. (см. раздел История логики).

Применение идеи формализации доказательств бывает обычно связано с выделением логической части рассматриваемой дедуктивной теории. Эта логическая часть, оформляемая, как и вся теория, в виде некоторого исчисления, т. е. системы формализованных аксиом и формальных правил вывода, может тогда рассматриваться как самостоятельное целое.

Простейшими из логических исчислений являются исчисления высказываний: классическое и интуиционистское. В них употребляются следующие знаки: 1) т. н. логические переменные — буквы А, В, С,..., означающие произвольные «высказывания» (смысл этого термина объясняется ниже); 2) знаки логических связок &, ﹀, ⊃, ⌉, означающие соответственно «... и...», «... или...», «если..., то...», «неверно, что...»; 3) скобки, выявляющие строение формул. Формулами в этих исчислениях считаются логические переменные и всякие выражения, получаемые из них путём повторного применения следующих операций: 1) присоединение к ранее построенному выражению знака ⌉ слева, 2) написание двух ранее построенных выражений рядом друг за другом со включением одного из знаков &, ﹀ или ⊃ между ними и с заключением всего в скобки. Например, следующие выражения являются формулами:

1. (А⊃(В⊃А)),

2. ((А⊃(В⊃С)) ⊃((А⊃В) ⊃(А⊃С))),

3. ((A&B) ⊃A),

4. ((А&. В) ⊃В),

5. (A⊃(B⊃(A&B))),

6. ((А⊃С) ⊃((В⊃С) ⊃((А﹀В) ⊃С))),

7. (А⊃(А﹀В)),

8. (B⊃(A﹀B)),

9. (⌉А⊃(А⊃В)),

10. ((A⊃B) ⊃((A⊃⌉B) ⊃⌉A)),

11. (A﹀⌉A).

В обоих исчислениях высказываний — классическом и интуиционистском — употребляются одни и те же правила вывода.

Правило подстановки. Из формулы выводится новая формула путём подстановки всюду вместо какой-либо логической переменной произвольной формулы.

Правило вывода заключений. Из формул

Эти правила отражают обычные способы рассуждений: переход от общего к частному и вывод следствий из доказанных посылок.

Различие между двумя исчислениями высказываний проявляется в наборах их аксиом. В то время как в классическом исчислении высказываний в качестве аксиом принимаются все формулы 1—11, в интуиционистском исчислении высказываний лишь первые десять из этих формул принимаются в качестве аксиом. Одиннадцатая формула, выражающая закон исключенного третьего (см. ниже), оказывается невыводимой в интуиционистском исчислении. Чтобы получить представление о выводе формул в исчислениях высказываний, выведем в интуиционистском исчислении формулу ⌉(А&⌉А), выражающую закон противоречия.

Применим правило подстановки к аксиомам 3 и 4, подставив в них формулу ⌉А вместо переменной В:

((А&⌉А) ⊃ А), (1)

((А&⌉А) ⊃ ⌉А). (2)

Подставив затем в аксиому 10 формулу (А&⌉А) вместо А, получим

(((А&⌉А) ⊃ В) ⊃ (((А&⌉А) ⊃ ⌉В) ⊃ ⌉(А&⌉А))). (3)

Подставив далее в формулу (3) формулу А вместо переменной В, получим

(((А&⌉А) ⊃ А) ⊃ (((А&⌉А) ⊃ ⌉А) ⊃ ⌉(А&⌉А))). (4)

Применив к формулам (1) и (4) правило вывода заключений, получим

(((А&⌉А) ⊃ ⌉А) ⊃ ⌉(А&⌉А)). (5)

Применив, наконец, правило вывода заключений к формулам (2) и (5), получим формулу ⌉(А&⌉А), которая, т. о., выводима в интуиционистском исчислении высказываний.

Формальное различие двух исчислений высказываний отражает глубокое различие в их истолкованиях, различие, касающееся смысла логических переменных, т. е. самого понимания термина «высказывание». При общепринятом истолковании классические исчисления высказываний этот термин понимается примерно как «суждение» в смысле Аристотеля (см. Суждение). Предполагается, что высказывание непременно истинно или ложно. Подстановка произвольных высказываний, т. е. суждений, вместо логических переменных в формулу даёт некоторую логическую комбинацию этих суждений, рассматриваемую также как суждение. Истинность или ложность этого суждения определяется исключительно истинностью или ложностью суждений, подставляемых вместо логических переменных, согласно следующим определениям смысла логических связок.

Суждение вида (Р&Q), называется конъюнкцией суждений Р и Q, есть суждение истинное, когда истинны оба эти суждения, и ложное, когда ложно хотя бы одно из них. Суждение вида (P﹀Q), называется дизъюнкцией суждений Р и Q, есть суждение истинное, когда истинно хотя бы одно из этих суждений, и ложное, когда ложны оба. Суждение вида (Р ⊃ Q), называется импликацией суждений Р и Q, есть суждение ложное, когда истинно Р и ложно Q, и истинное во всех остальных случаях. Суждение вида ⌉ Р, называется отрицанием суждения Р, есть суждение истинное, когда Р ложно, и ложное, когда Р истинно.

Необходимо отметить, что, согласно данному выше определению, импликация не вполне совпадает по смыслу с житейским словоупотреблением связки «если..., то...». Однако в математике эта связка обычно применялась именно в смысле этого определения импликации. Доказывая теорему вида «если Р, то Q», где Р и Q суть некоторые математические суждения, математик делает предположение об истинности Р и тогда доказывает истинность Q. Он продолжает считать теорему верной, если впоследствии будет доказана ложность Р или истинность Q будет доказана и без предположения об истинности Р. Опровергнутой он считает эту теорему лишь тогда, когда установлена истинность Р и вместе с тем ложность Q. Всё это вполне согласуется с определением импликации (Р ⊃ Q).

Необходимо также подчеркнуть принятое в математической Л. неисключающее понимание дизъюнкции. Дизъюнкция (Р﹀Q), по определению, истинна и в том случае, когда истинны оба суждения Р и Q.

Формула Исключённого третьего принцип).

Нетрудно проверить, что и все аксиомы 1—11 классически общезначимы и что правила вывода в применении к классически общезначимым формулам дают лишь классически общезначимые формулы. Отсюда следует, что все выводимые формулы классического исчисления высказываний классически общезначимы. Обратное также имеет место: всякая классически общезначимая формула выводима в классическом исчислении высказываний, в чём состоит полнота этого исчисления.

Иная трактовка логических переменных лежит в основе интуиционистского истолкования исчисления высказываний. Согласно этой трактовке, всякое математическое высказывание требует проведения некоторого математического построения с некоторыми заданными свойствами. Высказывание можно утверждать, коль скоро это построение выполнено. Конъюнкцию (А&В) двух высказываний А и В можно утверждать тогда и только тогда, когда можно утверждать как А, так и В.

Дизъюнкцию (А﹀В) можно утверждать тогда и только тогда, когда можно утверждать хотя бы одно из высказываний А и В. Отрицание ⌉А высказывания А можно утверждать тогда и только тогда, когда у нас есть построение, приводящее к противоречию предположение о том, что построение, требуемое высказыванием А, выполнено. (При этом «приведение к противоречию» считается первоначальным понятием.) Импликацию (А⊃В) можно утверждать тогда и только тогда, когда мы располагаем таким построением, которое, будучи объединено с любым построением, требуемым высказыванием А, даёт построение, требуемое высказыванием В.

Формула

Формулы 1—10 являются интуиционистски общезначимыми, тогда как формула 11, выражающая классический закон исключенного третьего, не является таковой.

В известном отношении близкой к интуиционизму является точка зрения конструктивной математики (См. Конструктивная математика),уточняющая несколько расплывчатые интуиционистские понятия импликации и общего метода на основе точного понятия Алгоритма. С этой точки зрения закон исключенного третьего также отвергается. Л. конструктивной математики находится в стадии разработки.

С методом формализации доказательств связано понятие формальной системы. Формальная система включает следующие элементы.

1. Формализованный язык с точным синтаксисом, состоящий из точных и формальных правил построения осмысленных выражений, называется формулами данного языка.

2. Чёткую семантику этого языка, состоящую из соглашений, определяющих понимание формул и тем самым условия их истинности.

3. Исчисление (см. выше), состоящее из формализованных аксиом и формальных правил вывода. При наличии семантики эти правила должны быть согласованы с ней, т. е. при применении к верным формулам давать верные формулы.

Исчисление определяет выводы (см. выше) и выводимые формулы — заключительные формулы выводов. Для выводов имеется распознающий алгоритм — единый общий метод, с помощью которого для любой цепочки знаков, применяемых в исчислении, можно узнавать, является ли она выводом. Для выводимых формул распознающий алгоритм может быть и невозможен (примером является исчисление предикатов, см. Логика предикатов).

Об исчислении говорят, что оно непротиворечиво, если в нём не выводима никакая формула Математический формализм) Гильбертом.

В 70-е гг. 20 в. получила развитие идея полуформальной системы. Полуформальная система — это также система некоторых правил вывода. Однако некоторые из этих правил могут иметь существенно иной характер, чем правила вывода формальной системы. Они, например, могут допускать выведение новой формулы после того, как с помощью интуиции создалось убеждение в выводимости любой формулы такого-то вида. Сочетание этой идеи с идеей ступенчатого построения математической Л. лежит в основе одного из современных построений логики конструктивной математики. В приложениях математической Л. часто применяются исчисления предикатов — классическое и интуиционистское.

Математическая Л. органически связана с кибернетикой (См. Кибернетика),в частности с математической теорией управляющих систем и математической лингвистикой (См. Математическая лингвистика). Приложения математической Л. к релейно-контактным схемам основаны на том, что всякая двухполюсная релейно-контактная схема в следующем смысле моделирует некоторую формулу_iсуждение «Реле номер i сработало», то цепь будет тогда и только тогда замкнута, когда будет верен результат подстановки суждений_iвместо соответствующих логических переменных в 1 и Ц₂, тогда и только тогда замкнута, когда замкнута цепь Ц₁или (и) замкнута цепь Ц₂. Применение исчисления высказываний к релейно-контактным схемам открыло плодотворный подход к важным проблемам современной техники. Это же применение обусловило постановку и частичное решение многих новых и трудных проблем математической Л., к числу которых в первую очередь относится т. н. проблема минимизации, состоящая в разыскании эффективных методов нахождения простейшей формулы, равносильной данной формуле.

Релейно-контактные схемы являются частным случаем управляющих схем, применяемых в современных автоматах. Управляющие схемы иных типов, в частности схемы из электронных ламп или полупроводниковых элементов, имеющие ещё большее практическое значение, также могут быть разрабатываемы с помощью математической Л., которая доставляет адекватные средства как для анализа, так и для синтеза таких схем. Язык математической Л. оказался также применимым в теории программирования, создаваемой в связи с развитием машинной математики. Наконец, созданный математической Л. аппарат исчислений оказался применимым в математической лингвистике, изучающей язык математическими методами.

А. А. Марков.

Научные учреждения и издания.Преподавание и исследовательская работа по Л. являются неотъемлемой частью научной и культурной жизни большинства стран мира. В СССР научно-исследовательская работа в области Л. ведётся в основном в научно-исследовательских центрах Москвы, Ленинграда, Новосибирска, Киева, Кишинева, Риги, Вильнюса, Тбилиси, Еревана и др. городов отделениями математических институтов АН СССР и союзных республик, институтами философии, кафедрами Л. университетов и некоторых др. вузов. Публикации работ по Л. в СССР осуществляются: в непериодических изданиях в форме тематических сборников и монографий (в частности, начиная с 1959 в серии «Математическая логика и основания математики»), в непериодических изданиях «Трудов Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР» (с 1931), в сборниках «Алгебра и логика» (Новосибирск, с 1962), в «Записках» научных семинаров по Л., в математических и философских журналах. В реферативном журнале «Математика» и в реферативных журналах института научной информации по общественным наукам АН СССР систематически освещаются работы советских и зарубежных авторов по Л. Из специальных зарубежных изданий, освещающих проблематику Л., наиболее известны: международная монографическая серия «Studies in Logic...» (Amst., с 1965) и журналы: «The Journal of Symbolic Logic» (Providence, с 1936); «Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik» (В., с 1955); «Archiv für mathematische Logik und Grundlagenforschung» (Stuttg., с 1950); «Logique et analyse» (Louvain, с 1958); «Journal of philosophical logic» (Dordrecht, с 1972); «International logic review» (Bologna, с 1970); «Studia Logica» (Warsz., с 1953); «Notre Dame Journal of formal Logic» (Notre Dame, с 1960).

Основную организационную работу, связанную с обменом научной информацией в области Л., осуществляет пользующаяся поддержкой ООН Ассоциация символической логики. Ассоциация организует международные конгрессы по Л., методологии и философии науки. Первый такой конгресс состоялся в 1960 в Станфорде (США), второй — в 1964 в Иерусалиме, третий — в 1967 в Амстердаме, четвёртый — в 1971 в Бухаресте.

З. А. Кузичева, М. М. Новосёлов.

Лит.:Основные классические работы.Аристотель, Аналитики первая и: вторая, пер. с греч., М., 1952; Leibniz G. W., Fragmente zur Logik, В., 1960; Кант И., Логика, пер. с нем., П., 1915; Милль Дж. С., Система логики силлогистической и индуктивной, пер. с англ., 2 изд., М., 1914; De Morgan A., Formal logic or the calculus of inference, necessary and probable, L., 1847 (перепечатка, L., 1926); Boole G., The mathematical analysis of logic, being an essay toward a calculus of deductive reasoning, L. — Camb., 1847 (перепечатка, N. Y., 1965); Schröder Е., Der Operationskreis des Logikkalkuls, Lpz., 1877; Frege G., Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, Halle, 1879; Джевонс С., Основы науки, Трактат о логике и научном методе, пер. с англ., СПБ, 1881; Порецкий П. С., О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики, Казань, 1884; Whitehead A. N., Russell B., Principia mathematica, 2 ed., v. 1—3, Camb., 1925—27.

История.Владиславлев М., Логика, СПБ, 1872 (см. «Приложение»); Троицкий М., Учебник логики с подробным указанием на историю и современное состояние этой науки в России и в других странах, т. 1—3, М., 1885—88; Яновская С. А., Основания математики и математическая логика, в кн.: Математика в СССР за тридцать лет, М. — Л., 1948; её же, Математическая логика и основания математики, в кн.: Математика в СССР за сорок лет, т. 1, М., 1959; Попов П. С., История логики нового времени, М., 1960; Котарбиньский Т., Лекции по истории логики, Избр. произв., пер. с польск., М., 1963, с. 353—606; Стяжкин Н. И., Формирование математической логики, М., 1967; Prantl К., Geschichte der Logik im Abendlande, Bd 1—4, Lpz., 1855—70; Bochenski I. М., Formale Logik, Münch., 1956; Minio Paluello L., Twelfth century logic. Texts and Studies, v. 1—2, Roma, 1956—58; Scholz Н., Abriss der Geschichte der Logik, Freiburg — Münch., 1959; Lewis C. I., A survey of symbolic logic, N. Y., 1960; lørgensen J., A treatise of formal logic: Its evolution and main branches with its relation to mathematics and philosophy, v. 1—3, N. Y., 1962; Kneale W., Kneale М., The development of logic, 2 ed., Oxf., 1964; Dumitriu A., Istoria logicii, Buc., 1969; Blanché R., La logique et son histoire. D'Aristote a Russell, P., 1971; Berka K., Kreiser L., Logik — Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik, B., 1971.

Учебные курсы.Гильберт Д., Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960; Гудстейн Р. Л., Математическая логика, пер. с англ., М., 1961; Гжегорчик А., Популярная логика. Общедоступный очерк логики предложений, пер. с польск., М., 1965; Мендельсон Э., Введение в математическую логику, пер. с англ., М., 1971; Марков А. А., О логике конструктивной математики, М., 1972.

Некоторые монографии.Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Рейтинг А., Интуиционизм, пер. с англ., М., 1965; Карри Х. Б., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969; Hilbert D., Bernays P., Grundlagen der Mathematik, Bd 1—2, В., 1934—39; Markov A. A., Essai de construction d'une logique de la mathématique constructive, Brux., 1971.

Энциклопедии и словари.Философская энциклопедия, т. 1—5, М., 1960—70; Кондаков Н. И., Логический словарь, М., 1971; Encyclopedia of Philosophy. v. 1—8, N. Y., 1967; Mała encykiopedia Logiki, Wrocław — Warsz. — Krakόw, 1970.

Библиография.Примаковский А. П., Библиография по логике. Хронологический указатель произведений по вопросам логики, изданных на русском языке в СССР в 18—20 вв., М., 1955; Ивин А. А., Примаковский А. П., Зарубежная литература по проблемам логики (1960—1966), «Вопросы философии», 1968, № 2; Church A., A bibliography of symbolic logic, «The Journal of Symbolic Logic», 1936, v. 1, № 4; его же, Additions and corrections to «A bibliography of symbolic logic», там же, 1938, v. 3, № 4; Beth E. W., Symbolische Logik und Grundlegung der exakten Wissenschaften, Bern, 1948 (Bibliographische Einführung in das Studium der Philosophie, Bd 3); Brie G. A. de, Bibliographia Philosophica. 1934—1945, Bd 1—2, Brux., 1950—54; Küng G., Bibliography of soviet works in the field of mathematical logic and the foundations of mathematics, from 1917—1957, «Notre Dame Journal of Formal Locic», 1962, № 3; Hänggi J., Bibliographie der Sovjetischen Logik, Bd 2, Winterthur, 1971.

логика—правилоstrong рассуждениеstrong логика порядок взаимодействиймеханизм мышления смысловой механизм теория рассуждений ход рассужденийнаука о законах и формах познающего...Идеографический словарь русского языка
логика—термин относящийся к логике...Аббревиатуры
логика—ЛОГИКА Логика есть анатомия мышления. Джон Локк Логика это нравственность мысли и речи. Ян Лукасевич Логика это искусство ошибаться с полной достоверностью. Джозеф Вуд ...Англо-русский словарь афоризмов, русские афоризмы
логика—греч. logike нормативная отрасль философии имеющая дело с критериями валидности в мышлении законами надлежащей предикации адекватного использования логических сказуемых а...Большая энциклопедия по психиатрии
логика—ж. logica логика событий la logica degli avvenimenti dei fatti железная логика una logica di ferro stringente Итальянорусский словарь. Синонимы закон закономерность ...Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь
логика—жLogik f закон закономерность логичность разумность умословие философия ход рассуждений ход умозаключений четкость мысли...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
логика—логика ж Logik fСинонимы закон закономерность логичность разумность умословие философия ход рассуждений ход умозаключений четкость мысли...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
логика—ж.lgica fльная лоuгика lgica formalнская лоuгика lgica del corazn...Большой русско-испанский словарь
логика—ж. logique f формальная логика logique formelle отсутствие логики manque m de logique женская логика la logique de la femme логика вещей la logique des choses...Большой русско-французский словарь
логика—logic раздел философии посвященный анализу универсальных и контекстносвободных априорных принципов смыслового рассуждения и обоснованных выводов посредством которых из н...Большой толковый социологический словарь
логика—от греч. logik соответствующий рассуждениям англ. logic нем. Logik. . Совокупность наук о законах и формах правильного мышления. . Разумность внутренняя закономерность ...Большой толковый социологический словарь II
логика—ж.logique fформальная логика logique formelleотсутствие логики manque m de logiqueженская логика la logique de la femmeлогика вещей la logique des choses закон законо...Большой французско-русский и русско-французский словарь
логика—греч. logike наука о способах доказательств и опроверженийсовокупность научных теорий в каждой из которых рассматриваютсяопределенные способы доказательств и опровержени...Большой энциклопедический словарь II
логика—ЛОГИКА греч. logike наука о способах доказательств и опровержений совокупность научных теорий в каждой из которых рассматриваются определенные способы доказательств и оп...Большой Энциклопедический словарь V
логика—от гр. logos слово понятие рассуждение разум англ. logic наука о наиболее общих законах и формах рационального мышления одна из обязательных учебных дисциплин для обуча...Большой юридический словарь
логика—наука о способах доказательств и опровержений совокупность научных теорий рассматривающих определенные способы доказательств и опровержений. Логика объединяет стремление ...Глобальная экономика. Энциклопедия
логика—наука об общезначимых формах и средствах мысли необходимых для рационального познания любой области действительности....Глоссарий философских терминов
логика—этимологически восходит к древнегреческому слову logos означавшему слово мысль понятие рассуждение закон. Это наука о законах и формах мышления человека. Она занимается и...Глоссарий философских терминов ИФ им.Киренского РАН
логика—от греч.логос в самом широком смысле наука о мышлении учение о законах формах и средствах рассуждений. Чаще всего данный термин отождествляется с термином формальная лог...Евразийская мудрость от А до Я
логика—греч. logike наука о способах доказательств и опровержений совокупность науч. теорий рассматривающих определ. способы доказательств и опровержений. Основателем Л. считает...Естествознание. Энциклопедический словарь
логика—греческое logike наука о способах доказательств и опровержений совокупность научных теорий в которых рассматриваются определенные способы доказательств и опровержений. Ос...Иллюстрированный энциклопедический словарь
логика—от гр. logike наука о способах доказательств и опровержений совокупность научных теорий в каждой из которых рассматриваются определенные способы доказательств и опроверж...Исследовательская деятельность
логика—Наука о законах и формах мышления методах познания и условиях определения истинности знаний и суждений. Способность правильно т.е. логически мыслить. В качве элементарно...История и философия науки. Энциклопедический словарь
логика—логика....Киргизско-русский словарь
логика—логика сылн аслас логика у него своя логика...Коми (зырянский)-русский словарь
логика—основа разума и ума выражающаяся в детерминированности мыслей рассуждений и действия в их причинноследственной связи. Создавалась опытным знанием поэтому высшие критерии ...Краткий критериологический словарь
логика—Традиционно логикой называлась наука о правильном умозаключении. Современная логика включает в себя три основные части формальную логику представляющую собой общую теорию...Краткий философский словарь предрассудков
логика—Логика logice es f logica...Латинский словарь
логика—и ж.em Наука о законах и формах мышления.Формальная логика. Диалектическая логика.Ход рассуждений умозаключений.Это был человек безукоризненной логики всегда лучше других...Малый академический словарь
логика—суть разработчик абстрактных форм мышления методов мышления на основе предельно абстрактных представлений о сущности мышления человека в типе деятельности или типе социок...Методологический словарь для управленцев
логика—наука изучающая методы мышления методы мышления которые как и вся наука являются отражением природы изученной части Вселенной иные ее части могут подчиняться иным законам...Мир Лема - словарь и путеводитель
логика—корень ЛОГ суффикс ИК окончание А Основа слова ЛОГИКВычисленный способ образования слова Суффиксальный ЛОГ ИК А Слово Логика содержит следующие морфемы или части ...Морфемный разбор слова по составу
логика—от греч. logike logos речь мысль разум наука о законах и формах мышления направленного на познание объективного мира наука о способах доказательств и опровержений. Осно...Начала современного естествознания
логика—учение о связях и последовательностях человеческого мышления о формах его развития о различных соотношениях мыслительных форм и их преобразованиях. Л. рассматривает вопро...Новая философская энциклопедия
логика—ЛОГИКА греч. logos слово рассуждение понятие разум наука о формах законах и методах познавательной деятельности способность правильно логически мыслить. С древности зам...Новейший философский словарь
логика—греч. logos слово рассуждение понятие разум наука о формах законах и методах познавательной деятельности способность правильно логически мыслить. С древности замечено в...Новейший философский словарь II
логика—логика ж. Научная дисциплина изучающая способы доказательств и опровержений. Внутренняя закономерность присущая явлениям природы общества. Правильный разумный ход расс...Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
логика—в классическом смысле наука о законах мысли в современном смысле наука о формах дискурса. Логика была представлена как искусство правильным образом направлять разум при...Новый философский словарь
логика—Нормативная отрасль философии которая имеет дело с критериями валидности в мышлении законами правильной предикации и принципами рассуждения и демонстрации. Логика занимае...Оксфордский толковый словарь по психологии
логика—Нормативная отрасль философии которая имеет дело с критериями валидности в мышлении законами правильной предикации и принципами рассуждения и демонстрации. Логика занимае...Оксфордский толковый словарь по психологии
логика—логика логика и...Орфографический словарь
логика—u ж закон закономерность логичность разумность умословие философия ход рассуждений ход умозаключений четкость мысли...Орфографический словарь русского языка
логика—логика...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
логика—греч.u logike от logikos построенный на рассуждении наука о способах доказательств и опровержений дисциплина изучающая формы и законы правильных т.е. способных служить ...Педагогический терминологический словарь
логика—logique f...Политехнический русско-французский словарь
логика—логика логики логики логик логике логикам логику логики логикой логикою логиками логике логиках...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
логика—Орфографическая запись слова логика Ударение в слове логика Деление слова на слоги перенос слова логика Фонетическая транскрипция слова логика [логк] Характеристика всех...Полный фонетический разбор слов
логика—Раздел философии в котором в явной форме устанавливаются правила вывода валидных корректных правильных заключений....Психология критического мышления
логика—логка....Російсько-український словник (Українська академія наук)
логика—логка...Російсько-український словник логіки
логика—греч. logike от logikos построенный на рассуждении дисциплина изучающая формы и законы правильных т.е. способных служить расширению знания умственных построений. От Л. ка...Российская педагогическая энциклопедия
логика—греч. логика Способность правильно мыслить. Учение о последовательности и методах познания. Учения о логич. аксиомах понятии суждении и умозаключении взятые вместе о...Российский гуманитарный энциклопедический словарь
логика—логика иСинонимы закон закономерность логичность разумность умословие философия ход рассуждений ход умозаключений четкость мысли...Русский орфографический словарь
логика—М . mntiq . daxili qanunauyunluq....Русско-азербайджанский словарь
логика—logic...Русско-английский машиностроительный словарь
логика—логика ж.ulogicадаптивная логика adaptive logicбинарная логика binary logicлогика большинства majority logicвероятностная логика probabilistic logicлогика высказывани...Русско-английский политехнический словарь
логика—ж. аффективная логика вопросительная логика дедуктивная логика диалектическая логика извращенная логика индуктивная логика комбинаторная логика логика чувств логика основ...Русско-английский психологический словарь
логика—логика ж.ilogic нарушение логики paralogism...Русско-английский словарь
логика—логика ж. logic логика вещей the logic of things логика событий the logic of events у него своя логика he acts according to a logic of his own....Русско-английский словарь II
логика—f.logic математическая логика mathematical logic функции алгебры логики Boolean functionsСинонимы закон закономерность логичность разумность умословие философия ход рассу...Русско-английский словарь математических терминов
логика—ж. адаптивная логика булева логика дискретная логика...Русско-английский словарь по физике
логика—logic...Русско-английский словарь по электронике
логика—logic базовая логика бинарная логика вероятностная логика диоднотранзисторная логика комбинаторная логика конструктивная логика логика большинства логика высказываний лог...Русско-английский технический словарь
логика—logic...Русско-английский толковый словарь терминов по информатике
логика—N...Русско-армянский словарь
логика—Логка...Русско-белорусский словарь
логика—логка жен.i...Русско-белорусский словарь II
логика—лоuгка к логика компьютерная логика функционирования схемы...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
логика—логка к...Русско-белорусский физико-математический словарь
логика—Синонимы закон закономерность логичность разумность умословие философия ход рассуждений ход умозаключений четкость мысли...Русско-ивритский словарь
логика—ж. logica f алгоритмическая логика арифметическая логика бинарная логика логика большинства вероятностная логика логика высказываний логика вычислительной машины двоична...Русско-итальянский политехнический словарь
логика—. исын логика вещей ст исыны отсутствие логики исынны жотыы. логика ойлау туралы ылымлогика отношений атынастар логикасы...Русско-казахский словарь
логика—логика исын...Русско-казахский терминологический словарь «История»
логика—логика манты...Русско-казахский терминологический словарь «Философия и политология»
логика—ж. логика . пикирдин закондору жана анын формалары жнндг илим . бир нерсенин ички закон ченемдлг анын тууралыгы . ой корутундуларынын тууралыгы дурустугу....Русско-киргизский словарь
логика—наукаem Iujixu lnlxu закономерностьem lujiлогика вещей закон закономерность логичность разумность умословие философия ход рассуждений ход умозаключений четкость мысл...Русско-китайский словарь
логика—Mantq...Русско-крымскотатарский словарь
логика—мантыкъ...Русско-крымскотатарский словарь II
логика—Логик учир шалтгааны ухаан...Русско-монгольский словарь
логика—Logik...Русско-немецкий политехнический словарь
логика—ж. Logik f....Русско-немецкий словарь
логика—логикаж ....Русско-новогреческий словарь
логика—fornuftlre logikk fornuftmessighet закон закономерность логичность разумность умословие философия ход рассуждений ход умозаключений четкость мысли...Русско-норвежский словарь
логика—...Русско-персидский словарь
логика—жlgica f закон закономерность логичность разумность умословие философия ход рассуждений ход умозаключений четкость мысли...Русско-португальский словарь
логика—Логикаmantiki...Русско-суахили словарь
логика—логика манти...Русско-таджикский словарь
логика—ж логика. эзлеклелек у него своя л. аны з логикасы л. событий вакыйгаларны эзлеклелеге...Русско-татарский словарь
логика—mantk ж врз mantk логика фактов olgularn mantпо твоей логике . senin mantna gre . закон закономерность логичность разумность умословие философия ход рассуждений ход у...Русско-турецкий словарь
логика—mantk...Русско-турецкий словарь по строительству и архитектуре
логика—mantik...Русско-узбекский словарь Михайлина
логика—наук. логка бесконечнозначная логика двузначная логика дедуктивная логика интесиональная логика интуиционистская логика комбинаторная логика конструктивная логика ...Русско-украинский политехнический словарь
логика—femlogiikka johdonmukainen ajattelu...Русско-финский словарь
логика—logik logika...Русско-чешский словарь
логика—logik.strong logik jag kan inte se logiken i ditt frslagв твом предложении я не вижу логики...Русско-шведский словарь
логика—Logik...Русско-шведский словарь II
логика—Loogika...Русско-эстонский словарь
логика—логика наука о законах и формах мышления ход рассуждений внутренняя закономерность чегол.Синонимы закон закономерность логичность разумность умословие философия ход рассу...Русское словесное ударение
логика—В книге универсальная граница данности вещей в мире сама остающаяся незримой методика косвенного выявления этой границы....Сверхкраткий философский словарь
логика—ЛОГИКАЛогика есть анатомия мышления. Джон Локк Логика это нравственность мысли и речи. Ян Лукасевич Логика это искусство ошибаться с полной достоверностью. Джозеф Вуд К...Сводная энциклопедия афоризмов
логика—от греч. logike . Совокупность наук о законах и нормах правильного мышления. . Разумность внутренняя закономерность чеголибо например логика событий [Магомедов Н.Г. Швыр...Сводный словарь по политологии
логика—ж.логика...Сербско-русский словарь
логика—от греч.em logos в античном мире зачастую отождествлялась с диалектикой. Проблемами категорий Л. занимался Парменид с помощью дизъюнктивного силлогизма стремившийся доказ...Словарь античности
логика—Наука о мышлении...Словарь для разгадывания и составления сканвордов
логика—ЛОГИКА греч. logike от logos рассуждение. Наука о законах мышления которое состоит в образовании понятий суждений и умозаключений. Словарь иностранных слов вошедших в со...Словарь иностранных слов русского языка
логика—наука о способах доказательств и опровержений. Умение аргументированно и доходчиво убеждать собеседника....Словарь исторических терминов
логика—от греч. logos слово понятие рассуждение разум или Формальная логика аЧ наука о законах и операциях пранвильного мышления. Согласно основному принципу Л. пранвильность р...Словарь логики
логика—греч. logike наука о способах доказательств и опровержений совокупность научных теорий в каждой из которых рассматриваются определенные способы доказательств и опровержен...Словарь по истории психологии
логика—ЛОГИКА от греч. logos iслово понятие рассуждение разум или Формальная логика наука о законах и операциях правильного мышления. Согласно основному принципу Л. правильнос...Словарь по логике
логика—греч. logike наука о способах доказательств и опровержений совокупность научных теорий в каждой из которых рассматриваются определенные способы доказательств и опроверже...Словарь по педагогической психологии
логика—логика железная логика...Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений
логика—и ж.i.Наука о законах и формах мышления искусство правильного построения умозаключений.Философия раздfontляется на Логику Нравоучение Фисику и Метафисику. Логика или Слов...Словарь русского языка XVIII в
логика—безупречная логика железная логика непогрешимая логика непоколебимая логикаСинонимы закон закономерность логичность разумность умословие философия ход рассуждений ход умо...Словарь русской идиоматики
логика—логикажелезная логика....Словарь синонимов II
логика—логика железная логика. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова М. Русские словари. логика см. закономерность Словарь синонимов рус...Словарь синонимов II
логика—логика Ход рассуждений умозаключений убеждение точка зрения. Бабская разг. безукоризненная беспощадная беспристрастная блестящая внутренняя гибкая дикая разг. доказательн...Словарь эпитетов III
логика—Ход рассуждений умозаключений убеждение точка зрения.Бабская разг. безукоризненная беспощадная беспристрастная блестящая внутренняя гибкая дикая разг. доказательная желез...Словарь эпитетов II
логика—ЛОГИКА. Ход рассуждений умозаключений убеждение точка зрения. Бабская разг. безукоризненная беспощадная беспристрастная блестящая внутренняя гибкая дикая разг. доказатель...Словарь эпитетов
логика—h логикаbig сущ.жен.неод.i ед.им. Признаться моя логика велит лучше пить вино чем описывать как пьютПр. ед.род. он находит в ней беспрестанные ошибки против грамматики и...Словарь языка Грибоедова
логика—формальная наука об общезначимых формах и средствах мысли необходимых для рационального познания в любой области знания. К общезначимым формам мысли относятся понятия суж...Советский философский словарь
логика—ЛОГИКА греческое logike наука о способах доказательств и опровержений совокупность научных теорий в которых рассматриваются определенные способы доказательств и опроверже...Современная энциклопедия
логика—ЛОГИКА греч . logike наука о способах доказательств и опровержений совокупность научных теорий в каждой из которых рассматриваются определенные способы доказательств и оп...Современный энциклопедический словарь
логика—по [] наука о законах и операциях правильного мышления. Согласно основному принципу логики правильность рассуждения определяется только его логической формой или структур...Теоретические аспекты и основы экологической проблемы
логика—иноск.em соображения рассуждения собств.em логикаem наука правильно мыслить рассуждать Ср.em Где же тут логикаem где же тут здравый смысл последовательность Ср.em Судь...Толково-фразеологический словарь Михельсона
логика—Логикаstrong иноск.em соображеня разсужденя собств. логикаem наука правильно мыслить разсуждать. Ср.em Гд же тутъ логикаem гд же тутъ здравый смыслъ послдовательность Ср...Толково-фразеологический словарь Михельсона (ориг. орф.)
логика—логика сущ.em ж.em употр. сравн. часто Морфология нет чего логикиstrong чему логикеstrong вижу что логикуstrong чем логикойstrong о чм о логикеstrong нар. логически . Ло...Толковый словарь Дмитриева
логика—ЛОГИКА ж. греч. наука здравомыслия наука правильно рассуждать умословие. Логик м. умослов правильный и здравый мыслитель знающий науку правильного рассуждения. Логический...Толковый словарь живого великорусского языка
логика—логика [гр. logike] наука о законах и формах мышления формальная л. наука изучающая формы мыслей и формы сочетаний их отвлекаясь от конкретного содержания суждений умо...Толковый словарь иностранных слов
логика—ЛОГИКА и ж. . Наука о законах и формах мышления. Формальная л.Диалектическая л. . Ход рассуждений умозаключений. У этого человека своял. Женская л. непоследовательная неп...Толковый словарь Ожегова
логика—ЛОГИКА логики ж. греч. logike от logos слово разум. . Наука об общих законах развития объективного мира и познания филос. Логика есть учение не о внешних формах мышления...Толковый словарь русского языка II
логика—логика логика и ж. Наука о законах и формах мышления. Формальная л. Диалектическая л. Ход рассуждений умозаключений. У этого человека своя л. Женская л. непоследовательна...Толковый словарь русского языка II
логика—ЛОГИКА и ж. . Наука о законах и формах мышления. Формальная логика Диалектическая логика . Ход рассуждений умозаключений. У этого человека своя логика Женская логика непо...Толковый словарь русского языка
логика—наука о формально правильном мышлении о законах построения и преобразования логических форм в которых протекает наше мышление вне зависимости от его содержания....Традиционная логика
логика—лгка...Тэрмінолёгія лёгікі і псыхолёгіі
логика—Ударение в слове логикаУдарение падает на букву оБезударные гласные в слове логика...Ударение и правописание
логика—ход рассуждений железная логика! внутренняя обусловленность закономерность развития событий напр. логика революции наука о формах и методах мышленияСинонимы закон законом...Универсальный дополнительный практический толковый словарь И. Мостицкого
логика—Rzeczownik логика f logika f логик m logik m...Универсальный русско-польский словарь
логика—наука изучающая законы и формы мышления понятия суждения умозаключения. Законы логики позволяют правильно формулировать мысли и обрабатывать чувственный опыт в мыслительн...Философия - конспект лекций и словарь терминов
логика—наука о формах мысли и их влиянии на процесс рассуждения. Главной задачей Л. является изучение форм мысли обеспечивающих достижение истины в познании. Л. как наука состои...Философия - словарь основных понятий и тесты по курсу «Философия»
логика—наука о формах законах и методах правильного т. с. построенного в соответствии с определенными логическими стандартами мышления. Различают формальную и содержательную лог...Философия науки
логика—ЛОГИКА от греч. logos слово понятие рассуждение разум или Формальная логика наука о законах и операциях правильного мышления. Согласно основному принципу Л. правильност...Философская энциклопедия
логика—греч. наука о мышлении от слово речь разум рассуждение наука о законах формах и приемах познания мира на ступени абстрактного мышления а также о языке как средстве т...Философская Энциклопедия (в 5 томах)
логика—В книге универсальная граница данности вещей в мире сама остающаяся незримой методика косвенного выявления этой границы....Философский словарь
логика—Деятельность может обеспечить только одну половину мудрости другая половина зависит от воспринимающей бездеятельности. В конечном счете спор между теми кто основывает лог...Философский словарь разума, материи, морали
логика—от греч. logos логос способность правильно т.е. логически мыслить учение о тождестве и его отрицании Г. Якоби учение о последовательности и методах познания наука логик...Философский энциклопедический словарь II
логика—cм. Диалектическая логика. Математическая логика Формальная логика....Философский энциклопедический словарь
логика—логика логики логики логик логике логикам логику логики логикой логикою логиками логике логиках Источник Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку . Синонимы з...Формы слова
логика—Логика от разум слово мышление по мнению одних наука о доказательстве по мнению других наука о законах и формах мышления. Чтобы познать сущность Л. и ее задачи следует ...Энциклопедический словарь
логика—от разум слово мышление по мнению одних наука о доказательстве по мнению других наука о законах и формах мышления. Чтобы познать сущность Л. и ее задачи следует обратит...Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
логика—от греч. logik соответствующий рассуждениям англ. logic нем. Logik. . Совокупность наук о законах и формах правильного мышления. . Разумность внутренняя закономерность ...Энциклопедия социологии
логика—ЛОГИКА от греч. logik logos слово разум рассуждение наука о правильных корректных рассуждениях. Традиционно рассуждение состоит из последовательности предложений назван...Энциклопедия эпистемологии и философии науки
логика—Логикаstrong. Заимств. в XVII в. из лат. яз. где logicai lt греч. logiki суф. производного от logosi в значении разум. См. филологияi....Этимологический онлайн-словарь русского языка Шанского Н. М
логика—Возм. через нем. Logik ХVI в. см. ШульцБаслер от лат. lоgiса греч. ....Этимологический русскоязычный словарь Фасмера
логика—Восходит к латинскому logos означающему слово разум и в свою очередь восходящему к греческому logike....Этимологический словарь Крылова
логика—Заимств. в XVII в. из лат. яз. где logicaem ampLT греч. logikem суф. производного от logosem в значении разум. См. филологияem.Синонимы закон закономерность логичность ра...Этимологический словарь русского языка
логика—логика логикаВозм. через нем. Logik ХVI в. см. ШульцБаслер от лат. lоgiса греч. ....Этимологический словарь русского языка (М. Фасмер.)
логика—Греческое logos.Слово ведет свое происхождение из греческого языка. Первоисточник греческое слово в переводе означающее разум.Путем добавления суффикса было образовано ...Этимологический словарь русского языка Семенова