Большая Советская энциклопедия II

ИНТЕГРАЛ

(от лат. integer — целый)

одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой — измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т. п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые И., вычисление которых является задачей интегрального исчисления (См. Интегральное исчисление).
Неопределённый интеграл.Первообразная функцииf(x) одного действительного переменного — функцияF(x), производная которой при каждом значениихравнаf(x). Прибавляя постоянную к первообразной какой-либо функции, вновь получают первообразную той же функции. Следовательно, имея одну первообразнуюF(x) функцииf(x), получают общее выражение всех первообразных этой функции в видеF(x)+С.Это общее выражение первообразных называют неопределённым интегралом:
функцииf(x). Одна из основных теорем интегрального исчисления устанавливает, что каждая непрерывная функцияf(x) действительного переменного имеет неопределённый И.
Определённый интеграл. Определённый И. функцииf(x) с нижним пределомаи верхним пределомbможно определить как разность
гдеF(x) есть первообразная функцииf(x); определение не зависит от того, какая из первообразных выбрана для вычисления определённого И.Если функцияf(x) непрерывна, то приведённое определение в случаеa < bравносильно следующему определению, данному О. Коши(1823): рассматривают произвольное разбиение отрезка [a,b] точками
в каждом отрезке [xi—1,xi] (i =1, 2,...,n) берут произвольную точку ξi(xi—1≤ ξi≤xi) и образуют сумму
СуммаSnзависит от выбора точекxiи ξi. Однако в случае непрерывной функцииf(x) суммыSn, получающиеся при различном выборе точекxiи ξi, стремятся к вполне определённому пределу, если максимальная из разностейxi— xi—1стремится к нулю приn→ ∞. Этот предел и является определённым интегралом
По определению,
Определённый И., как указано выше, выражается через любую первообразнуюF(x). Обратно, первообразнаяF(x) может быть записана в виде
гдеа —произвольная постоянная. В соответствии с этим неопределенный И. записывается в виде
О возникновении понятия И., а также о свойствах неопределенных и определённых И. см. Интегральное исчисление.
Обобщение понятия интеграла
Интеграл Римана. О. Коши применял своё определение И. только к непрерывным функциям. Назвать, по определению, интегралом
предел суммSnприmax(xi—xi—1) → 0 во всех тех случаях, когда этот предел однозначно определён, предложил Б. Риман(1853). Он же исследовал условия применимости такого определения. Более совершенную форму этим условиям придал А. Лебег (1902), пользуясь введённым им понятием меры множества (см. Меры теория). Для интегрируемости в смысле Римана функцииf(x) на [a, b] является необходимой и достаточной совокупность двух условий:f(x)ограничена на [а, b], множество помещающихся на [a,b] точек разрыва функцииf(x) имеет меру, равную нулю. Таким образом, непрерывность в каждой точке отрезка [а,b] совсем не обязательна для интегрируемости по Риману.
Неопределённый И. и первообразную можно теперь определять формулами (5) и (4). Следует только заметить, что при этом первообразнаяF(x) не обязана иметь подинтегральную функциюf(x) своей производной в каждой точке. Но в каждой точке непрерывностиf(x), т. е., в силу результата Лебега, всюду, кроме, может быть, множества меры, равной нулю, будет
Г. Дарбу (1879) дал определение интеграла Римана, которое делает особенно наглядными условиями существования такого И. Вместо сумм (3) Дарбу вводит суммы (называемые суммами Дарбу)
гдеMk— верхняя грань функцииf(x)наотрезке [xk—1,xk], аmk—нижняя граньf(x) на том же отрезке. ЕслиI̅нижняя грань сумм l̲ — верхняя грань сумм l̲ иI̅и является интегралом Римана (6). Сами величиныI̅иl̲называются верхним и, соответственно, нижним интегралами Дарбу.
Интеграл Лебега.Введённое Лебегом понятие меры множества позволило дать значительно более широкое определение И. Чтобы определить И. (6), Лебег делит точками
... <y-2<y-1<y0<y-1< ... <yi<...>
область возможных значений переменногоу=f(x) и обозначаетMiмножество тех точекхиз отрезка [a, b], для которых
yi—1≤f(x)<yi.
Сумма S определяется равенствомS=Σiηiμ(Mi),
где ηiберётся из отрезка yi—1≤ ηi<yi, а μ(Mi) обозначает меру множестваMi.Функцияf(x) называется интегрируемой в смысле Лебега на отрезке [a,b], если ряды, определяющие суммыS, абсолютно сходятся при max(yi—yi—1) → 0. Предел этих сумм и называется интегралом Лебега (6). Можно определить первообразную в смысле Лебега как функциюF(x), удовлетворяющую равенству (4), где И. в правой части понимается по Лебегу. Как и в случае интеграла Римана, равенство (7) будет при этом выполняться во всех точках, кроме, может быть, множества, имеющего меру, равную нулю.
Для интегрируемости по Лебегу ограниченной функцииf(x) необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала к числу измеримых функций (См. Измеримые функции) в смысле Лебега. Все функции, встречающиеся в математическом анализе, измеримы в этом смысле. Более того, до настоящего времени (1972) не построено ни одного индивидуального примера неизмеримой функции. Таким образом, для случая ограниченных функций Лебег решил задачу определения интеграла (6) с общностью, исчерпывающей потребности математического анализа. Среди функций, интегрируемых по Лебегу, имеется сколько угодно функций, всюду разрывных и, следовательно, неинтегрируемых по Риману. Наоборот, каждая интегрируемая по Риману функция интегрируема и по Лебегу.
Определение Лебега обобщается на случай интегрирования по полупрямой и по полной прямой, т. е. на случай И. вида
После этого обобщения теория Лебега охватывает все случаи абсолютно сходящихся несобственных интегралов (См. Несобственные интегралы).
Общность, достигнутая в определении Лебега, весьма существенна во многих вопросах математического анализа; например, только с введением интеграла Лебега могла быть установлена теорема Фишера — Риса в теории тригонометрических рядов, в силу которой любой ряд
для которого
представляет функциюf(x), порождающую коэффициентыanиbnпо формулам
где И. понимаются в смысле Лебега.
Интеграл Стилтьеса.В конце 19 в. определение интеграла Римана подверглось совершенно иному обобщению, чем то, к которому привело введение понятия меры множества. Это обобщение было дано Т. Стилтьесом (1894). Пустьf(x) — непрерывная функция действительного переменногох, определённая на отрезке [a,b], иU(x) — определённая на том же отрезке ограниченная монотонная (неубывающая или невозрастающая) функция. Для определения интеграла Стилтьеса берут произвольное разбиение (2) отрезка [a,b] и составляют сумму
f(ξ1) [U(x1) —U(x0)] +f(ξ2) [U(x2) —U(x1)] +...+f(ξn) [U(xn) —U(xn—1)], (8)
где ξ1, ξ2, ..., ξn— произвольные точки, выбранные соответственно на отрезках [x0,x1], [x1,x2], ..., [xn—1,xn]. Пусть δ — наибольшее расстояние между двумя последовательными точками деления в разбиении (2). Если взять любую последовательность разбиений, для которой δ стремится к нулю, то сумма (8) будет иметь определённый, всегда один и тот же предел, как бы ни выбирались точки ξ1, ξ2, ..., ξnна соответствующих отрезках. Этот предел называют, следуя Стилтьесу, интегралом функцииf(x) относительно функцииU(x) и обозначают символом
Интеграл (9) (его называют также интегралом Стилтьеса) существует и в том случае, когда ограниченная функцияU(x), не будучи сама монотонной, может быть представлена в виде суммы или разности двух ограниченных монотонных функцийU1(x) иU2(x):
U(x) =U1(x) —U2(x),
т. е. является функцией с ограниченным изменением (см. Изменение функции).
Если интегрирующая функцияU(х) имеет ограниченную и интегрируемую по Риману производнуюU'(x), то интеграл Стилтьеса сводится к интегралу Римана по формуле
В частности, когдаU(x) =х+С, интеграл Стилтьеса (9) превращается в обыкновенный интеграл Римана (6).
Дальнейшие обобщения.Концепции И., созданные Стилтьесом и Лебегом, удалось впоследствии объединить и обобщить на интегрирование по любому (измеримому) множеству в пространстве любого числа измерений. Классические кратные интегралы вполне охватываются этим подходом. Потребности таких дисциплин, как теория вероятностей и общая теория динамическим систем, привели к ещё более широкому понятию абстрактного интеграла Лебега, основанному на общих понятиях меры множества и измеримости функций. ПустьХ —пространство, в котором выделена определённая системаВего подмножеств, называемых «измеримыми», причём эта система обладает свойствами замкнутости по отношению к обычным теоретико-множественным операциям, выполняемым в конечном или счётном числе. Пусть μ — конечная мера, заданная наВ.ДляВ-измеримой функцииу=f(x),х∈Х, принимающей конечное или счётное число значенийy1,y2, ...,yn, ..., соответственно на попарно непересекающихся множествахA1, ...,Аn, ..., сумма которых естьX, интеграл функцииf(x) по мере μ, обозначаемый
определяется как сумма ряда
в предположении, что этот ряд абсолютно сходится. Для другихfинтегрируемость и И. определяются путём некоторого естественного предельного перехода от указанных кусочно постоянных функций.
ПустьА— измеримое множество и φА(х) = 1 длях, принадлежащихА, и φА(х) = 0 длях,не принадлежащихА. Тогда интеграл отf(x) по множествуАопределяют, полагая
При фиксированных μ иАИ. в зависимости отfможет рассматриваться как Линейный функционал; при фиксированномfИ., как функция множестваА, есть счётно аддитивная функция.
Следует отметить, что, несмотря на кажущуюся отвлечённость, это общее понятие И. в наибольшей степени подходит для определения такого понятия, как математическое ожидание (в теории вероятностей), и даже для общей формулировки задачи проверки статистических гипотез. И. по отношению к так называемой мере Винера и различным её аналогам используют в статистической физике (здесь в качествеХфигурирует пространство непрерывных на каком-либо отрезке функций). Упоминавшиеся до сих пор обобщения понятия И. были такими, чтоfи |f| оказывались интегрируемыми или неинтегрируемыми одновременно.
Обобщения первоначального понятия И. в другом направлении относятся к функциям одного переменного, но зато дают много больше в исследовании интегрирования неограниченных функций. Ещё Коши в случае функцииf(x), неограниченной в точкех=с, определил интеграл
когдаa<c<b, как предел выражения
при ε1→ 0 и ε2→ 0. Аналогично И. с бесконечными пределами
определяется как предел И.
приа→ — ∞ иb→ + ∞. Если при этом не требуется интегрируемости |f(x)|, т. е.f(x) интегрируема «не абсолютно», то это определение Коши не поглощается лебеговским.
Ещё более широкое обобщение понятия И. в этом направлении было предложено А. Данжуа (1912) и А. Я. Хинчиным(1915).
Лит.:Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.—Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Камке Э., Интеграл Лебега — Стилтьеса, пер. с нем., М., 1959; Уитни Х., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., М., 1962; Невё Ж., Математические основы теории вероятностей, пер. с франц., М., 1969; Federer Н., Geometric measure theory, В. — Hdlb. — N. Y., 1969.
Под редакцией академика А. Н. Колмогорова.

  1. интеграл—м. integrale Итальянорусский словарь. Синонимы первообразная термин...Большой итальяно-русский и русско-итальянский словарь
  2. интеграл—м мат.Integral n первообразная термин...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  3. интеграл—интеграл м мат. Integral n aСинонимы первообразная термин...Большой немецко-русский и русско-немецкий словарь
  4. интеграл—м. мат.integral f...Большой русско-испанский словарь
  5. интеграл—сущ. муж. рода мат. муз.в математике величина получающаяся в результате действия обратного дифференцированиюнтеграл...Большой русско-украинский словарь
  6. интеграл—м. мат. intgrale f найти интеграл intgrer vt...Большой русско-французский словарь
  7. интеграл—м. мат.intgrale fнайти интеграл intgrer vt первообразная термин...Большой французско-русский и русско-французский словарь
  8. интеграл—от лат. integer целый см. Интегральное исчисление.i...Большой энциклопедический политехнический словарь
  9. интеграл—ИНТЕГРАЛ от лат. integer целый см. Интегральное исчисление....Большой Энциклопедический словарь V
  10. интеграл—от лат. integer целый см. Интегральное исчисление.i Синонимы первообразная термин...Естествознание. Энциклопедический словарь
  11. интеграл—от латинского integer целый одно из основных понятий интегрального исчисления....Иллюстрированный энциклопедический словарь
  12. интеграл—ИНТЕГРАЛ а м. intgrale f. ampLTлат. integer целый. Математическое понятие о целой величине как сумме своих бесконечно малых частей. emНахождение интеграла. БАС. Найти инт...Исторический словарь галлицизмов русского языка
  13. интеграл—Эта кузница кадров возникла в городе УстьКаменогорске в конце х годов. В Интеграле в разное время переиграли Юрий Лоза Игорь Сандлер Юрий Ильченко Игорь Новиков Ярослав А...Малая энциклопедия русского рока
  14. интеграл—а м. мат.em Величина получающаяся в результате действия обратного дифференцированию.[От лат. integer целый] первообразная термин...Малый академический словарь
  15. интеграл—одно из центральных понятий математич. анализа и всей математики возникновение крого связано с двумя задачами о восстановлении функции по ее производной напр. с задачей о...Математическая энциклопедия
  16. интеграл—корень ИНТЕГР суффикс АЛ нулевое окончаниеОснова слова ИНТЕГРАЛВычисленный способ образования слова Суффиксальный ИНТЕГР АЛ Слово Интеграл содержит следующие морфемы...Морфемный разбор слова по составу
  17. интеграл—Начальная форма Интеграл винительный падеж единственное число мужской род неодушевленное...Морфологический разбор существительных
  18. интеграл—ИНТЕГРАЛstrong обозначение т . emМатематический символ используемый в ИСЧИСЛЕНИИ представляющий операцию суммирования. Интеграл функции fx записанный как т fxdx emможет п...Научно-технический энциклопедический словарь
  19. интеграл—интеграл м. Целая величина рассматриваемая как сумма своих бесконечно малых частей....Новый толково-словообразовательный словарь русского языка
  20. интеграл—интеграл интеграл а...Орфографический словарь
  21. интеграл—u мu мн.u интегралы Р.u интегралов первообразная термин...Орфографический словарь русского языка
  22. интеграл—интеграл...Орысша-қазақша «Көлік және қатынас жолдары» терминологиялық сөздік
  23. интеграл—интеграл...Орысша-қазақша «Математика» терминологиялық сөздік
  24. интеграл—интеграл...Орысша-қазақша «Энергетика» терминологиялық сөздік
  25. интеграл—мат. интеграл....Осетинско-русский словарь
  26. интеграл—intgrale...Политехнический русско-французский словарь
  27. интеграл—интеграл интегралы интеграла интегралов интегралу интегралам интеграл интегралы интегралом интегралами интеграле интегралах...Полная акцентуированная парадигма по Зализняку
  28. интеграл—Орфографическая запись слова интеграл Ударение в слове интеграл Деление слова на слоги перенос слова интеграл Фонетическая транскрипция слова интеграл [нтиграл] Характер...Полный фонетический разбор слов
  29. интеграл—мат. нтеграля л....Російсько-український словник (Українська академія наук)
  30. интеграл—интеграл аСинонимы первообразная термин...Русский орфографический словарь
  31. интеграл—М riyaz. inteqral....Русско-азербайджанский словарь
  32. интеграл—integral...Русско-английский аэрокосмический словарь
  33. интеграл—см.u брать интеграл Синонимы первообразная термин...Русско-английский научно-технический словарь
  34. интеграл—integral интеграл м.uintegralинтеграл бертся по the integral is taken around [over] integration is over брать интеграл вдоль контура take the integral along the cont...Русско-английский политехнический словарь
  35. интеграл—м. мат. вероятностный интеграл...Русско-английский психологический словарь
  36. интеграл—интеграл м. мат.iintegral...Русско-английский словарь
  37. интеграл—интеграл м. мат. integral....Русско-английский словарь II
  38. интеграл—m.integral интеграл свртки convolution convolution integral Faltung интеграл Пуассона Poisson integral интеграл по траекториям functional integral path integralСинонимы п...Русско-английский словарь математических терминов
  39. интеграл—integral...Русско-английский словарь по авиации
  40. интеграл—integral первообразная термин...Русско-английский словарь по машиностроению
  41. интеграл—м.интеграл бертся вдоль . integral is taken along .интеграл от . integral of .интеграл в пределах от x до y integral between the limits x and yинтеграл в смысле главно...Русско-английский словарь по физике
  42. интеграл—integral вчт....Русско-английский словарь по электронике
  43. интеграл—integral...Русско-английский строительный словарь
  44. интеграл—integral ampLTmath.ampGT primitive внутренний интеграл вычислить интеграл гиперэллиптический интеграл двойной интеграл интеграл вероятности интеграл во времени интеграл д...Русско-английский технический словарь
  45. интеграл—N...Русско-армянский словарь
  46. интеграл—нтэграл...Русско-белорусский математический словарь
  47. интеграл—нтэграл...Русско-белорусский словарь
  48. интеграл—мат.i нтэграл муж.i...Русско-белорусский словарь II
  49. интеграл—нтэграuл ла интеграл гипергеометрического типа интеграл движения интеграл континуальный интеграл перекрытия интеграл по гауссовой мере интеграл с сильной особенностью...Русско-белорусский словарь математических, физических и технических терминов
  50. интеграл—нтэграл ла...Русско-белорусский физико-математический словарь
  51. интеграл—первообразная термин...Русско-ивритский словарь
  52. интеграл—мат. integrale...Русско-итальянский автомобильный словарь
  53. интеграл—м. матем. integrale m абелев интеграл интеграл вероятности верхний интеграл гармонический интеграл гиперэллиптический интеграл двойной интеграл действия интеграл интегра...Русско-итальянский политехнический словарь
  54. интеграл—мат. интеграл саны шексз аз осылыштарды осындысыны шег интеграл несобственный меншксз интеграл интеграл нормальный алыпты интеграл...Русско-казахский словарь
  55. интеграл—м. мат. интеграл здрнн чексиз кичине блктрнн суммасы катарында каралуучу бтн чодук....Русско-киргизский словарь
  56. интеграл—м мат. jfnСинонимы первообразная термин...Русско-китайский словарь
  57. интеграл—integrlis...Русско-латышский словарь
  58. интеграл—Интеграл салшгй бтэн бхэл...Русско-монгольский словарь
  59. интеграл—Integral...Русско-немецкий политехнический словарь
  60. интеграл—м. матем. Integral n....Русско-немецкий словарь
  61. интеграл—Integral мат....Русско-немецкий экономический словарь
  62. интеграл—...Русско-персидский словарь
  63. интеграл—м матu integral f первообразная термин...Русско-португальский словарь
  64. интеграл—Интегралmsasanya mi rejeo maзакрытый интеграл msasanya kizingo miопределяющий интеграл thamani rejeo определнный интеграл msasanya dhahiri mi...Русско-суахили словарь
  65. интеграл—интеграл интеграл...Русско-таджикский словарь
  66. интеграл—м мат. первообразная термин...Русско-турецкий словарь
  67. интеграл—астр. матем. физ. нтерал алгебраический интеграл внутренний интеграл двойной интеграл двукратный интеграл доверительный интеграл интеграл в инволюции интеграл движ...Русско-украинский политехнический словарь
  68. интеграл—intgrale мех....Русско-французский словарь по химии
  69. интеграл—integrl...Русско-чешский словарь
  70. интеграл—Integraal...Русско-эстонский словарь
  71. интеграл—интеграл [тэ\]Синонимы первообразная термин...Русское словесное ударение
  72. интеграл—Математический крючок...Словарь для разгадывания и составления сканвордов
  73. интеграл—ИНТЕГРАЛ воволат. от лат. integer ценный. В математике количество дифференциал которого равен данной величине. Словарь иностранных слов вошедших в состав русского языка...Словарь иностранных слов русского языка
  74. интеграл—Настоящее имя Гравитu Август ГермановичПериодические изданияi Западная СибирьИсточникиi Масанов И.Ф. Словарь псевдонимов русских писателей ученых и общественных деятелей ...Словарь псевдонимов русских писателей, ученых и общественных деятелей. Псевдонимы
  75. интеграл—ИНТЕГРАЛ а м.iФр. intgral нем. Integral.Мат.iНайти интеграл уравнения. Кот. Геодет ....Словарь русского языка XVIII в
  76. интеграл—интеграл первообразная термин Словарь русских синонимов. интеграл сущ. колво синонимов первообразная термин Словарь синонимов ASIS.В.Н. Тришин. . Синонимы первообраз...Словарь синонимов II
  77. интеграл—интеграл первообразная термин...Словарь синонимов
  78. интеграл—ИНТЕГРАЛ от латинского integer целый одно из основных понятий интегрального исчисления....Современная энциклопедия
  79. интеграл—ИНТЕГРАЛ от лат . integer целый см. Интегральное исчисление....Современный энциклопедический словарь
  80. интеграл—ИНТЕГРАЛ м. математ. лат. конечная измеримая величина в отношении к бесконечно малой части ее к дифференциалу. Интегральное вычисление искусство отыскивать интеграл по ди...Толковый словарь живого великорусского языка
  81. интеграл—интеграл [...Толковый словарь иностранных слов
  82. интеграл—ИНТЕГРАЛ [стэ] ам. В математике величина получающаяся в результатедействия обратного дифференцированию. II прил. интегральный ая ое.Интегральное исчисление....Толковый словарь Ожегова
  83. интеграл—ИНТЕГРАЛ интеграла м. от латин. integer целый мат. Конечная измеримая величина в отношении к бесконечно малой части ее к диференциалу....Толковый словарь русского языка II
  84. интеграл—интеграл интеграл тэ а м. В математике величина получающаяся в результате действия обратного дифференцированию.прил. ьный ая ое. Интегральное исчисление....Толковый словарь русского языка II
  85. интеграл—ИНТЕГРАЛ [стэ] ам. В математике величина получающаяся в результате действия обратного дифференцированию. прилагательное интегральный ая ое. Интегральное исчисление....Толковый словарь русского языка
  86. интеграл—Ударение в слове интегралУдарение падает на букву аБезударные гласные в слове интеграл...Ударение и правописание
  87. интеграл—Rzeczownik интеграл m caka f...Универсальный русско-польский словарь
  88. интеграл—интеграл интегралы интеграла интегралов интегралу интегралам интеграл интегралы интегралом интегралами интеграле интегралах Источник Полная акцентуированная парадигма по ...Формы слова
  89. интеграл—ИНТЕГРАЛ integral Функция первая производная first derivative которой равна другой функции. Если fхem является первой производной от gxem то следовательно gxem является и...Экономический словарь
  90. интеграл—Тагир Тагил Рита Ринг Рин Рига Риал Риа Ретина Рет Рента Ренат Релит Релинг Релин Реглан Регин Реал Реагин Ратин Рант Ранет Ранг Нтр Нит Нил Нигер Нети Нер Негр Нега Нгал...Электронный словарь анаграмм русского языка
  91. интеграл—Интегралstrong.Латинское integralis integer целый полный.В русском языке слово интеграл как математический термин появилось в х гг. Xviii в. из французского языка. Вперв...Этимологический онлайн-словарь русского языка
  92. интеграл—Интегралstrong. Заимств. во второй половине XVIII в. из франц. яз. где оно является неологизмом швейцарского математика Я. Бернулли на базе лат. integralisi суф. производ...Этимологический онлайн-словарь русского языка Шанского Н. М
  93. интеграл—Заимств. во второй половине XVIII в. из франц. яз. где оно является неологизмом швейцарского математика Я. Бернулли на базе лат. integralisem суф. производного от integer...Этимологический словарь русского языка
  94. интеграл—Латинское integralis integer целый полный.В русском языке слово интеграл как математический термин появилось в х гг. XVIII в. из французского языка. Впервые его ввел в о...Этимологический словарь русского языка Семенова