ДРОБЬ (В АРИФМЕТИКЕ)

Дробьв арифметике, число, составленное из целого числа долей единицы. Д. изображается символом

гдеm‒ числитель Д. ‒ показывает число взятых долей единицы, разделённой на столько долей, сколько показывает (знаменует) знаменательn. Д. можно рассматривать как частное от деления одного целого числа (m) на другое (n). Еслиmделится нацело наn, то частное

обозначает целое число, например,

В случае, когда это не так, частное

является дробным числом, например,

Числитель и знаменатель Д. можно одновременно умножать или делить на одно и то же число, не изменяя величины Д. Всякую Д. можно представить посредством сокращения в виде несократимой, т. е. такой, у которой числитель и знаменатель не имеют общих множителей, например

есть сократимая Д.

несократимая. Чтобы сложить Д. с общим знаменателем, надо сложить их числители и оставить тот же знаменатель:

Чтобы сложить несколько Д. с разными знаменателями, надо предварительно привести их к общему знаменателю. Подобным же образом совершается вычитание Д. Чтобы перемножить несколько Д., надо произведение числителей разделить на произведение знаменателей:

Определяя деление как действие, обратное умножению, получают следующее правило деления Д.:

Если числитель Д. меньше знаменателя, то Д. называется правильной, в противном случае ‒ неправильной. Неправильная Д. может быть представлена в виде суммы целого числа и правильной Д. (смешанного числа). Для этого надо числитель разделить (с остатком) на знаменатель. Например,

Это положение элементарной арифметики обобщается на любые действительные числа: действительное числохможно единственным образом представить в видех=n+d, гдеn‒ целое и 0 £d< 1.Числоnназывается целой частьюхи обозначается [x]. Числоd=х‒ [x] называется дробной частьюх.

Десятичной дробьюназывается Д., знаменатель которой есть степень 10. Такую Д. пишут без знаменателя; например,

О непрерывных Д. см.Непрерывная дробь.

Операции над Д. встречаются уже в древнеегипетском папирусе Ахмеса (около 2000 до н. э.), где считаются допустимыми только Д. Вида

(аликвотные Д.), а потому ставится своеобразная «египетская» задача о представлении любой Д. суммой неравных между собой Д. вида

(к последним, в виде исключения, присоединялась ещё Д. ). Например,

В древневавилонских памятниках письменности встречаются так называемые сексагезимальные Д., т. е. Д., знаменатель которых есть степень 60, игравшие большую роль в античной арифметике; деление единицы на 60 и 3600 = 602частей сохранилось и до настоящего времени в делении часа или градуса на 60мин

и каждой минуты на 60сек. У древних индийцев, по-видимому, впервые зародилось современное обозначение Д.

Лит.:Энциклопедия элементарной математики, кн. 1 ‒ Арифметика, М.‒Л., 1951; Депман И. Я., История арифметики, 2 изд., М., 1965.