Большая Советская энциклопедия II

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО

число а, удовлетворяющее алгебраическому уравнению a1αn+ ... + акα +an+1= 0, где n ≥ 1, a1, ..., an, an+1— целые (рациональные) числа. Число α называется целым А. ч., если a1= 1. Если многочлен f(x) = a1xn+ ... + anx + an+1не является произведением двух др. многочленов положительной степени с рациональными коэффициентом, то число n называется степенью А. ч. α. Простейшие А.ч. — корни двучленного уравнения xn= а, где а—рациональное число. Например, А. ч. будут рациональные числа, числа
целыми А.ч. будут целые числа, числа
С понятием А. ч. тесно связаны два больших направления в теории чисел. 1) Арифметика А. ч. (алгебраическая теория чисел), созданная Э. Куммером в середине 19 в., изучает свойства А. ч. Целые А. ч. обладают рядом свойств, аналогичных свойствам целых рациональных чисел, однако теорема об единственности разложения числа на простые множители не имеет места в теории целых А. ч. Для сохранения единственности разложения Куммер ввёл в рассмотрение т. н. «идеальные» числа (см. Идеал). 2) Теория приближения А. ч. изучает степень приближения А. ч. рациональными числами или алгебраическими же числами. Первым результатом в этом направлении была теорема Ж. Лиувилля (См. Лиувилль),показывающая, что А. ч. «плохо» приближаются рациональными числами, точнее: если α - А. ч. степени n,то при любых целых рациональных р и q имеет место неравенство [α - p/q] > C/qn, где С = С(α) > 0 — постоянная, не зависящая от р и q, отсюда следует, что легко построить произвольное количество неалгебраических — трансцендентных чисел (См. Трансцендентное число).
Лит.:Гекке Э., Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М. — Л., 1940; Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952; Боревич З. И., Шафаревич И. P., Теория чисел, М., 1964.
А. А. Карацуба.

  1. алгебраическое число—число удовлетворяющее алгебраическому уравнению сцелыми коэффициентами....Большой энциклопедический словарь II
  2. алгебраическое число—АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО число удовлетворяющее алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами....Большой энциклопедический словарь III
  3. алгебраическое число—АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ число число удовлетворяющее алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами....Большой Энциклопедический словарь V
  4. алгебраическое число—число удовлетворяющее алгебр. урнию с целыми коэффициентами....Естествознание. Энциклопедический словарь
  5. алгебраическое число—Ч комплексное в частности действительное число являющееся корнем многочлена с рациональными коэффициентами из крых не все равны нулю. Если Ч А. ч. то среди всех многочле...Математическая энциклопедия
  6. алгебраическое число—АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО число удовлетворяющее алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами....Новый большой англо-русский словарь II
  7. алгебраическое число—nombre algbrique...Политехнический русско-французский словарь
  8. алгебраическое число—algebraic number...Русско-английский политехнический словарь
  9. алгебраическое число—polynomial number...Русско-английский словарь по машиностроению
  10. алгебраическое число—algebraic number...Русско-английский словарь по электронике
  11. алгебраическое число—алгебрачны лк...Русско-белорусский математический словарь
  12. алгебраическое число—numero algebrico...Русско-итальянский политехнический словарь
  13. алгебраическое число—алебричне число...Русско-украинский политехнический словарь
  14. алгебраическое число—algebraick slo...Русско-чешский словарь
  15. алгебраическое число—АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО число удовлетворяющее алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами....Современный энциклопедический словарь
  16. алгебраическое число—АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО число удовлетворяющее алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами....Энциклопедический словарь естествознания